15. Обоснование задачи Коши
На даннрм этапе важно установить, эквивалентна ли описанная в § 13 задача Копш исходной нелинейной двухточечной граничной задаче. Наше главное предположение заключается в том, что длина интервала 
достаточно мала, а функции 
достаточно гладкие, так что задача Коши обладает единственным решением.
Рассмотрим прежде всего уравнение (13.3) с начальным условием (13.4). Продифференцировав обе части (13.3) по 
получим
Аналогично, продифференцировав уравнение (13.4) по 
получим
В силу уравнения (13.1)
Отсюда получаем
Уравнения (1) и (4) образуют задачу Коши для определения функции 
Рассмотрим далее функцию 
Продифференцировав ее, увидим, что
отсюда в силу уравнений (13.3) и (13.5) вытекает
Кроме того, при 
Таким образом, мы видим, что функции и 
удовлетворяют одной и той же задаче Коши при 
Из предположения единственности вытекает, что
Аналогично можно показать, что и функции 
и
, удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению.
Остается рассмотреть граничные условия на функции и и и. Функция 
строится таким образом, что 
Наконец, покажем, что
Функция 
удовлетворяет уравнению с частными производными
с начальным условием
Таким образом, в силу единственности 
является единственным решением для (12) — (13), что и завершает доказательство эквивалентности задач.
Замечания и литература
(см. скан)
