9. Функции Грина
Важным инструментом анализа самосопряженных двухточечных граничных задач является функция Грина. Однако, из-за трудности 
аналитического, так и численного построения функции Грина она представляет скорее теоретическую, чем практическую ценность.
Цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать, каким образом можно получить функцию Грина как решение некоторой устойчивой задачи Коши. Как и ранее, основная идея заключается в изучении поведения
функции Грина в фиксированной точке при изменении длины интервала. Эту идею, разумеется, можно рассматривать как новое звено в цепи рассуждений, первоначально построенной Адамаром.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
с граничными условиями
В предположении, что решение этой задачи существует и единственно, его можно записать в виде
где ядро 
является функцией Грина для данной задачи. Рассматривая 
как функцию от 
ее можно представить как решение следующей задачи:
Кроме того, 
непрерывна при 
однако ее первая производная в этой точке имеет скачок, определяемый формулой
В принципе эти свойства позволяют построить функцию 
следующим образом. Пусть функция 
такова, что
Тогда на интервале 
функция 
имеет вид
где А не зависит от 
Пусть 
решение задачи
На интервале 
функция 
имеет вид
где В также не зависит от 
Параметры 
определяются из условий непрерывности 
и скачка 
в точке 
Таким образом, функция Грина есть
где
Отметим, кстати, что отсюда вытекает симметричность 
Только что описанная процедура выявляет структуру функции Грина, однако во многих случаях ее трудно реализовать численно, поскольку для получения функций 
необходимо проинтегрировать уравнение
как в направлении возрастания, так и в направлении убывания 
Если это уравнение обладает как убывающим, так и возрастающим экспоненциальными решениями (например, если 
к постоянно), то точное интегрирование этого уравнения может оказаться весьма сложным делом из-за роста ошибок округления, что представляет собой хорошо известное явление. В следующем параграфе мы применим излагавшийся ранее подход построения задачи Коши для преодоления этой трудности.
