15. Некоторые аспекты нелинейного сглаживания

Гораздо более интересный и, конечно же, более трудный класс задач фильтрации возникает, когда уравнения, описывающие динамику системы и/или наблюдения, зависят от состояния нелинейным образом. В зависимости от того, для какого момента времени — будущего, настоящего или прошедшего — мы хотим получить оценку сигнала, мы сталкиваемся с задачами предсказания, фильтрации или сглаживания соответственно.

Мы хотим получить решение задачи нелинейного сглаживания, минимизирующее среднеквадратичное отклонение. В задаче сглаживания основной интерес представляет оценка состояний и параметров системы для конечного ряда моментов времени, которые выделяются из интервала наблюдения.

Задачи такого рода часто возникают в астрономии, когда стремятся скорректировать оценки начальных условий по мере получения новых результатов наблюдений, и в задачах анализа траекторий частиц, когда есть необходимость улучшить оценки в «критические» моменты. Как правило, эти моменты соответствуют различным подключениям во время работы, моментам фотографирования и т. д.

Рассматриваемый процесс описывается уравнением

в то время как наблюдения имеют вид

при Требуется оценить состояние процесса в фиксированный момент времени основываясь на известной величине у на интервале Обобщение задачи на тот случай, когда оценка находится для нескольких моментов не вызывает трудностей, и мы оставляем его читателю в качестве простого упражнения.

Динамическая ошибка и ошибка наблюдения, входящие в (1) и (2), отражают неточное знание правых частей и всевозможные стохастические возмущения.

Оптимальная оценка минимизирует среднеквадратичное отклонение

где и неотрицательные весовые функции, а неотрицательная постоянная. Таким образом, оптимальная оценка в момент дается величиной

Совершенно ясно, что отыскание оптимальной оценки эквивалентно решению следующей задачи оптимального управления: найти оптимальное управление и оптимальную траекторию минимизирующие функционал

при ограничениях

со свободными