8. Первый способ вывода уравнения для X

По определению функции имеем

Обозначим через производную по первому аргументу. Тогда, продифференцировав (1) по получим

Однако в уравнении (7.2) мы уже получили функцию поэтому остается лишь найти

Для этого запишем интегральное уравнение относительно в виде

Продифференцируем далее . В результате получим

Проинтегрировав по частям последние два интеграла в (4), приходим к соотношению

Комбинируя равенства получим

Рассматривая (7) как интегральное уравнение относительно функции и учитывая уравнения для получим окончательно

Возвращаясь к уравнению (2) и учитывая (6.3), запишем окончательное уравнение для в виде

Полагая в уравнении (7.2), сразу получим задачу Коши для функции Подстановка дает

Уравнения (9) и (10) образуют пару интегро-дифференциальных уравнений для функций По определению этих функций начальные условия при имеют вид

Эти уравнения замыкают систему Коши для функций