14. Инвариантное погружение и фильтрация в реальном масштабе времени

Покажем теперь, каким образом для сформулированной выше задачи можно построить фильтр, работающий в реальном масштабе времени, используя результаты и методы из гл. 4.

Пусть функция удовлетворяет интегральному уравнению

Функцию можно выразить через следующим образом:

Рассуждая точно также, как и в гл. 4, получим для еле дующую задачу Коши:

Ее начальные условия выглядят так:

Теперь с помощью уравнения (2) можно вычислить Однако мы пойдем другим путем и построим уравнение для включающее только и другую вспомогательную функцию от Избавившись таким образом от можно добиться значительного сокращения объема вычислений.

Для этой цели запишем еще раз уравнение для

Исподьзуя уравнение (2), получим

Меняя порядок интегрирования в (10), приходим к уравнению

Введем новую функцию

Продифференцируем Тогда

Учитывая уравнения (5), (8) и (12), перепишем уравнение (13) в виде

Из уравнения (12) вытекает начальное условие

По известной функции можно записать в виде

Уравнения для совместно с уравнением (16) для образуют задачу Коши, позволяющую получить среднеквадратичную оценку сигнала в присутствии описанного выше шума. Поскольку наблюдаемая функция у выступает в уравнении (14) как внешнее воздействие, данная процедура идеально приспособлена для работы в реальном масштабе времени. Легко получить аналогичные результаты для многомерного случая и для случая, когда ядро ковариации имеет вид, отличный от (13.11). Эти важные вопросы будут рассмотрены в следующей нашей книге.