14. Вычислительные методы

Опишем кратко несколько методов, которые можно использовать для численного решения приведенных выше уравнений с частными производными первого порядка. Более подробно с этими методами можно познакомиться по литературе, приведенной в конце главы.

Стандартный численный метод решения уравнений с частными производными — это конечно-разностная аппроксимация. Хотя различных конечно-разностных схем почти столько же, сколько и исследователей, все они используют одну принципиальную идею — замену частных производных конечными разностями и анализ получающихся при этом алгебраических задач.

Для примера рассмотрим уравнение (13.1) для отыскания функции

Переход к простейшей разностной схеме заключается в замене частных производных следующими разностными формулами:

Подставив эти выражения в (1), после простых преобразований получим

Уравнение (5) вместе с граничными условиями (6), заданными на прямой, позволяют выразить значения функции на прямой через ее значения на прямой Можно показать, что при выполнении соответствующих предположений о и отношении разностная аппроксимация сходится к решению исходной задачи при

Аппроксимация (3), (4), вообще говоря, справедлива с точностью до членов порядка или 8. Это не очень высокая точность, и потому имеет смысл обратиться к более точным схемам. Существует ряд схем, которые ценой незначительного увеличения числа вычислений обеспечивают существенно лучшую точность. Так, например, аппроксимация центральными разностями

дает ошибку порядка соответственно. Аналогично можно построить схемы более высокого порядка. Как и, в случае центральных разностей, в схемах более высокого порядка граничных условий, заданных на одной прямой, оказывается недостаточно для начала вычислений. Поэтому обычно необходимо применять схему низкого порядка для получения начальных условий, необходимых для начала работы более точных схем. Примеры подобного рода можно найти в литературе, указанной в конце главы.

Другой подход к решению задачи (1) заключается в применении разложения в степенные ряды. Хотя степенные ряды многие годы использовались в теории дифференциальных уравнений как аналитический инструмент, их применение для вычислительных целей сдерживалось в основном ограниченностью области сходимости и низкой скоростью сходимости. Однако в задачах типа (1), в особенности в том случае, когда функции являются многочленами, существует ряд способов увеличения скорости сходимости и расширения области применимости степенного представления функции Такой подход к решению особенно оправдан, когда требуете получить функцию только для небольшого числа значений с и

Для иллюстрации применения степенных рядов представим функцию в виде

Предположим далее, что функции можно разложить в ряды следующим образом:

где числа зависят от благодаря специфическому виду Продифференцировав (9) и подставив в уравнение (1), получим

Приравнивая коэффициенты при приходим к рекуррентному соотношению

Полученное из уравнения (2) начальное условие имеет вид

Используя уравнения (13) и (14), можно с помощью ЭЦВМ легко получить коэффициенты разложения Взяв достаточно большое число членов ряда (9), можно получить хорошее приближение к функции для достаточно малого эначения Если при некоторых значениях с или в (9) имеются особые точки, то следует воспользоваться процедурами аналитического продолжения.

Третий метод решения уравнения -это конечноразностная схема, называемая дифференциальной квадратурной формулой. В этой процедуре производные по всем переменным, кроме одной, заменяются соответствующими линейными комбинациями значений функции. Таким образом, задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с известными начальными значениями.

В качестве примера представим на множестве точек приближенным выражением

Предположим для простоты, что и определим таким образом, чтобы формула (15) была точной для многочленов степени меньше . С помощью тестовых функций обращение матрицы Вандермонда дает точное значение коэффициентов разложения. Чтобы избежать обращения матрицы, можно использовать тестовые многочлены Здесь есть

смещенный полином Лежандра, а корень. Множество ортогонально на [0,1], и поэтому коэффициенты разложения можно непосредственно выразить через корни . В результате получим

Используя обозначения

и подставляя (15) в (1), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

с начальными условиями

Уравнения (18) — (19) и представляют собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, удобную для определения функций