Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
14. Вычислительные методыОпишем кратко несколько методов, которые можно использовать для численного решения приведенных выше уравнений с частными производными первого порядка. Более подробно с этими методами можно познакомиться по литературе, приведенной в конце главы. Стандартный численный метод решения уравнений с частными производными — это конечно-разностная аппроксимация. Хотя различных конечно-разностных схем почти столько же, сколько и исследователей, все они используют одну принципиальную идею — замену частных производных конечными разностями и анализ получающихся при этом алгебраических задач. Для примера рассмотрим уравнение (13.1) для отыскания функции
Переход к простейшей разностной схеме заключается в замене частных производных следующими разностными формулами:
Подставив эти выражения в (1), после простых преобразований получим
Уравнение (5) вместе с граничными условиями (6), заданными на прямой, позволяют выразить значения функции Аппроксимация (3), (4), вообще говоря, справедлива с точностью до членов порядка
дает ошибку порядка Другой подход к решению задачи (1) заключается в применении разложения в степенные ряды. Хотя степенные ряды многие годы использовались в теории дифференциальных уравнений как аналитический инструмент, их применение для вычислительных целей сдерживалось в основном ограниченностью области сходимости и низкой скоростью сходимости. Однако в задачах типа (1), в особенности в том случае, когда функции Для иллюстрации применения степенных рядов представим функцию
Предположим далее, что функции
где числа
Приравнивая коэффициенты при
Полученное из уравнения (2) начальное условие имеет вид
Используя уравнения (13) и (14), можно с помощью ЭЦВМ легко получить коэффициенты разложения Третий метод решения уравнения В качестве примера представим
Предположим для простоты, что
Используя обозначения
и подставляя (15) в (1), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
с начальными условиями
Уравнения (18) — (19) и представляют собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, удобную для определения функций
|
1 |
Оглавление
|