23. Начальное условие для функции A

Пусть определяется следующим образом:

Используя определение к и меняя порядок интегрирования, получим

Рассмотрим теперь член в квадратных скобках. Определим формулой

Продифференцировав по получим, что

Согласно (3) и (20.3),

Для преобразования члена, стоящего в квадратных скобках, воспользуемся еще раз леммой из § 20 (уравнения (20.11)-(20.13)) и интегральными уравнениями для . В результате приходим к формуле

Подстановка в интегральное уравнение (19.3) для функции дает

Начальное условие при имеет вид

Отсюда следует, что

Подставляя это равенство в (2), получаем

Учитывая (22.9) и (1), приходим к соотношению

Полученное таким образом начальное условие для А вместе с предположением единственности и уравнением (22.8) приводит к равенству

или

что и требовалось показать.