8. Аналитическая механика и уравнения Гамильтона
Богатым источником двухточечных граничных задач является теория динамических механических систем. При применении к таким системам законов сохранения сразу же возникают двухточечные граничные задачи такого типа, который мы рассматривали в гл. 3. В нескольких следующих параграфах мы продемонстрируем применение наших результатов к задачам механики и в качестве наглядного примера рассмотрим простой гармонический осциллятор.
Рассмотрим движение частицы по прямой и будем описывать этот процесс гамильтонианом 
Уравнения движения имеют вид
Мы хотим определить неизвестное смещение 
в момент времени 
Введем функцию
смещение в момент 
от нулевого начального положения под действием движущего момента, равного с в момент времени 
Таблица 1 (см. скан) Численная проверка закона сохранения, 
В гл. 3 мы показали, что для системы
функция 
удовлетворяет уравнению с частными производными
с начальным условием
Применяя этот результат к системе (1), (2), получим, что 
удовлетворяет уравнению
или
Для иллюстрации рассмотрим простой пример гармонического осциллятора. В этом случае
где
Уравнение (8) в данном случае принимает вид
Решение этого уравнения с начальным условием (6) имеет вид
Эта формула дает желаемую величину смещения в момент 
кроме того, показывает, что функция 
может стать бесконечно большой при некоторых конечных значениях 
