6. Уравнение Пуассона и численная неустойчивость

Для иллюстрации устойчивости и численной эффективности метода погружения рассмотрим решение уравнения Пуассона на прямоугольнике с помощью модификации Канторовича процедуры Релея — Ритца. Кроме того, этот пример продемонстрирует решение задачи,

граничные условия которой заданы не так, как это было ранее.

Интересующая нас задача такова:

где - область на плоскости

Эта задача возникает при определении положения равновесия тонкой мембраны с закрепленными краями, смещаемой силой 2 единицы на единицу площади в положительном направлении оси . С помощью стандартного метода разделения переменных можно показать, что решение задачи (1) можно записать в виде

Эта формула будет использована при оценке точности описанной ниже численной процедуры.

Решение задачи (1), кроме того, минимизирует квадратичный функционал

при граничных условиях из задачи (1). С помощью классических вариационных методов (принцип Дирихле) можно показать, что функция минимизирующая при соответствующих граничных условиях, является единственным решением задачи (1).

Используем для минимизации модификацию процедуры Релея — Ритца, предложенную Канторовичем. Будем искать минимизирующую функцию в виде

Подставляя (4) в (3), получим вариационный интеграл для неизвестной функции

Уравнение Эйлера для (5) имеет вид

Для того чтобы удовлетворяла граничным условиям из (1), необходимо, чтобы

В этом случае двухточечная граничная задача имеет явное решение

Появление гиперболических функций даже в этом простом случае указывает на возможную численную неустойчивость, которая может крайне затруднить решение обычными численными методами. Поэтому применим метод погружения для получения задачи Коши, дающей решение Заметим, что граничные условия (7) препятствуют непосредственному использованию полученных ранее результатов, поскольку