7. Другой вид задачи Коши

Будем рассматривать двухточечную граничную задачу для определения как частный случай несколько более общей задачи

И на этот раз мы явно подчеркиваем зависимость функций и и у от Одновременно с (1) — (2) рассмотрим систему

Продифференцируем сначала (1) и (2) по . В результате получим

Сравнивая (5) — (6) с (3) — (4), видим, что

Аналогично, продифференцировав (3) — (4), получим

Рассмотрим теперь .

Введем новую функцию по формуле

Продифференцировав по и использовав (4) и (10), получим

Таким образом, мы получили простое уравнение Риккати для определения Забудем на мгновение о начальном условии при Знание функции позволяет полностью определить из уравнений (9) и (10),

поскольку из (4) и (11) вытекают очевидные начальные условия при

Рассмотрим теперь функцию и Введем функцию как

Дифференцируя по и используя уравнения (2) и (8), получаем

Начальное условие при вытекает (в силу непрерывности) из уравнений

Вычислив функцию легко определить и и у с помощью уравнений поскольку начальные условия при очевидно, имеют вид

Единственный момент, который еще необходимо выяснить для полного описания задачи Коши,-это определение начального условия для при Поскольку по определению , из уравнепий (3) — (4) видно, что при «малых» Это обстоятельство наводит на мысль разложить в окрестности в ряд Лорана

сходящийся при Предполагая,

что в некоторой окрестности функция является аналитической, разложим ее в ряд Тейлора

Подставляя выражения (20) и (21) в уравнение (12) и приравнивая члены с одинаковыми степенями получим последовательность несколькими первыми членами которой являются Таким образом, мы используем (20) для вычисления начального условия на для некоторого «малого» значения в окрестности нуля.