18. Интегро-дифференциальные уравнения и нелокальное взаимодействие волн

При изучении электромагнитных полей в металлических слитках и полупроводниках конечной толщины для электрической составляющей напряженности поля можно написать некоторые интегро-дифференциальные уравнения. Эти уравнения имеют следующий вид:

где некоторая постоянная. При этом в точках задаются граничные условия.

В предыдущих параграфах мы видели, что различные двухточечные граничные задачи, интегральные уравнения и вариационные задачи могут быть сведены к задачам Коши. В двух последних параграфах мы покажем, что и другой широкий класс функциональных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений, удовлетворяющих некоторым граничным условиям, также может быть сведен к задачам Коши. Уравнения такого типа возникают в современной физике, когда оказывается необходимым учитывать нелокальные взаимодействия.

Для иллюстрации нашего подхода рассмотрим задачу отыскания функции удовлетворяющей интегро-дифференциальному уравнению

с граничными условиями

Как и ранее, будем предполагать, что ядро к имеет вид