26. Продолжение за особые точки

В предыдущем параграфе мы описали процедуру получения собственных значений и собственных функций из уравнений инвариантного погружения в предположении, что мы можем продолжать интегрирование задачи Коши на интервалах за особыми точками. Рассмотрим более подробно, как это можно сделать. Возьмем простой пример

Ранее мы уже видели, что функции имеют вид

Один из простейших приемов, который можно использовать для продолжения интегрирования, состоит в замене переменных, когда функции становятся

«большими». Так, например, новые переменные

проходят через нуль, когда становятся неограниченными при Таким образом, когда приближается к какой-либо особой точке, мы переходим к решению новых уравнений

с начальными условиями при

где некоторая точка из интервала

После того, как при интегрировании уравнений для особая точка оказывается пройденной, мы можем снова вернуться к старым переменным. Используя приведенные выше явные решения, запишем для данного примера

Другой метод продолжения состоит в использовании разложения функций в ряд Лорана в окрестности данной особой точки. Для того же примера мы уже видели, что близком к имеют место равенства

Таким образом, для получения начальных условий в точке нам необходимо лишь вычислить по формулам (17) — (19). Вообще говоря, мы могли бы вычислить коэффициенты разложения, воспользовавшись интерполяцией по значениям функций вблизи данной особой точки. Функции например, можно вычислить в точках близких к особой точке Тогда, предполагая, что рассматриваемая точка является простым полюсом, можно получить коэффициенты ряда Лорана с помощью метода наименьших квадратов.

Третий способ продолжения состоит в использовании исходного интегрального уравнения и метода последовательных приближений. Например, применение метода последовательных приближений в уравнении (1) приводит к итеративной схеме

Хорошо известно, что последовательность расходится при больших первого сингулярного значения, если не принимать специальных мер. Было замечено, что применение к последовательности преобразования Шэнкса в некоторых случаях приводит к сходимости и для таких значений Литература, где рассматриваются эти методы, приведена в конце главы. После того, как вычислена функция можно получить

функции из положив соответственно.

Еще один стандартный способ решения интегральных уравнений, который можно использовать для обхода особых точек, заключается в переходе к алгебраическим уравнениям. Рассмотрим опять тот же пример и воспользуемся какой-либо квадратурной формулой для замены интеграла в уравнении (1) конечной суммой

Числа определяются применяемой квадратурной схемой. Исходное уравнение для теперь принимает вид

Пусть последовательно принимает значения из Тогда (23) приводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно

Решение этой системы дает тогда начальные значения для (и, следовательно, для ) для длин интервалов больших, чем

Изложенные идеи нетрудно перенести с простого примера уравнения (1) на случай уравнений более сложного вида, с которыми мы имели дело ранее. Единственным дополнительным шагом является введение еще нескольких функций для определения функций являющихся частью полной задачи Коши.