5. Устойчивость и анализ ошибок

В этом разделе мы кратко остановимся на одном из основных аспектов численного анализа и решения задач Коши — на устойчивости применяемого метода и минимизации некоторой выбранной меры ошибки. Каждый, кто хотя бы в общих чертах знаком с численным решением дифференциальных уравнений, ясно понимает, что понятия устойчивости метода и меры ошибки неразрывно связаны друг с другом, а именно устойчивость является одним из факторов, влияющих на меру ошибки. Однако, проводя анализ ошибок при решении некоторой конкретной задачи, важно четко различать возможные источники ошибок. Поэтому из педагогических соображений мы искусственно отделим от полного анализа ошибок некоторые «неотделимые» вещи, такие, как устойчивость, заранее предупредив читателя об истинном положении дел.

Для того чтобы ввести понятие устойчивого численного решения, рассмотрим рекуррентное соотношение

где последовательность является набором действительных чисел, а есть последовательность арифметических преобразований, определенных на множестве всех последовательностей действительных чисел. Назовем соотношение (1) «численным процессом». Совершенно ясно, что все формулы численного интегрирования, рассмотренные в предыдущем разделе, можно рассматривать, как частные случаи соотношения (1). Нас же интересует анализ этого численного процесса при больших

Практически мы не можем вычислить последовательность точно по соотношению (1), поскольку при вычислении правой части (1) каждый раз вносится некоторая ошибка, и поэтому при вычислении следующего элемента последовательности мы исходим из неточных данных. Таким образом, на самом деле мы получаем последовательность такую, что

где — обычно малый параметр, точное значение которого определязтся такими соображениями, как значения ошибки округления и т. д.

Итак, мы пришли к вопросу о том, остается ли достаточно малым при всех Интуитивно мы ощущаем, что решение численно устойчиво, если оно изменяется «не слишком быстро». Более точно, если для любого найдется такое, что влечет за собой для всех то решение называется устойчивым. В этом случае обозначает соответствующую норму в пространстве последовательностей, содержащем

Важно отметить, что численная устойчивость определяется только через решение, а не через процесс решения. Поскольку решение зависит только от начального значения то для некоторых классов операторов изменение начальных значений может полностью изменить поведение решения в целом. Таким образом, имеет смысл говорить о численной устойчивости лишь в том случае, когда решение единственно.

Как видно из предыдущего, основными факторами, влияющими на численную устойчивость решения, являются структура программы для ЭЦВМ, число арифметических операций, необходимое для исполнения оператора и длина машинного слова (ошибки округления). Все эти факторы необходимо проанализировать прежде, чем передать задачу на решение.

Помимо устойчивости, важнейшими факторами, влияющими на точность описанных выше методов численного интегрирования, являются поведение функции , длина интервала интегрирования и длина шага интегрирования. В большинстве случаев мы не можем управлять функцией или длиной интервала, поскольку они обычно определяются самой задачей. Однако шаг интегрирования можно изменять с тем, чтобы получить возможность как-то управлять погрешностью решения. Так, например, можно показать, что при решении некоторого уравнения методом Эйлера независимая оценка ошибки в точке имеет такой вид:

где начальная точка интервала, — константа Липшица для функции верхняя грань Важность оценки (3) определяется тем, что она ясно показывает, что в фиксированной точке интервала ошибка стремится к нулю при Аналогичные оценки для методов Рунге-Кутта и Адамса-Мултона, правда, не настолько простые, как (3), показывают, что в большинстве случаев можно ожидать увеличения точности решения при уменьшении до тех пор, пока ошибки округления не станут играть определяющую роль. В тот момент, когда вклад ошибок округления в общую погрешность становится решающим, вычислитель оказывается перед дилеммой. Дальнейшее уменьшение размера шага лишь увеличит ошибки округления, поскольку число значащих цифр на каждом шаге фиксировано из-за ограниченности разрядной сетки машины; с другой стороны, как это видно из (3), уменьшение все же желательно. Это как раз и есть та туманная область, где получение численного решения становится в большей степени искусством, чем наукой, и прошлый вычислительный опыт является здесь решающим фактором. На практике существует один простой метод — это решить задачу с одной длиной шага, затем уменьшить шаг вдвое и решить эту задачу еще раз. Если полученные таким образом решения достаточно близки, то решение на этом можно прекратить; в противном случае необходимо продолжить процесс. Эта процедура позволяет проверить надежность схемы численного интегрирования. Кроме того, комбинируя полученные решения, можно построить более точное приближение к решению исходной задачи, чем любое из пробных решений. Ссылки на этот метод приведены в конце главы.