12. Нелинейные двухточечные граничные задачи
Основным моментом при решении многих задач является получение численного решения некоторой нелинейной двухточечной граничной задачи. Задачи такого типа естественно возникают в теории оптимального управления и других вариационных задачах, в различных областях астрофизики и биологии. Мы еще вернемся к этим разделам, однако сейчас рассмотрим лишь математические аспекты некоторого класса нелинейных двухточечных граничных задач для того, чтобы продемонстрировать, как можно применить здесь идеи, развитые для линейного случая.
Как можно было ожидать, в случае нелинейных задач отсутствие принципа суперпозиции заставляет несколько пересмотреть нашу методику сведения к задаче Коши. Мы уже не укладываемся в рамки обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку теперь решение, вообще говоря, будет функцией и от заданных граничных условий, и от длины интервала. Это обстоятельство заставляет нас привлекать уравнения с частными производными для определения этих дополнительных переменных. Однако, как будет видно в дальнейшем, возникающие таким образом уравнения с частными производными имеют очень простую структуру, позволяющую привлекать для их решения ряд известных методов. В результате мы можем ожидать, что сведение нелинейных граничных задач к задачам Коши окажется эффективным для широкого класса задач.
Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравнений
с граничными условиями
Предположим ради простоты изложения, что и и и — скалярные функции. Получить многомерный аналог не представит особого труда. Чтобы указать зависимость функций и и 
от с, 
мы будем писать 
, когда это будет необходимо.
Продифференцировав уравнения 
по с, получим
Аналогично дифференцирование по 
приводит к уравнениям
В последнем уравнении у обозначает производную по первому аргументу, 
по третьему.
Для использования этих уравнений заметим, что 
дифференциального уравнения (2) при 
получаем
где
Сравнивая уравнения 
в предположении существования и единственности решения получаем
Уравнения (15) и (16) и являются искомыми уравнениями с частными производными для и ни, Начальные условия при 
имеют вид
Теперь остается рассмотреть вопрос о вычислении функции 
Продифференцировав (14) по 
получим
Из уравнений (1) и (15) вытекает, что
Это квазилинейное уравнение первого порядка относительно функции 
с частными производными. Из уравнения (3) следует, что
Уравнения для 
вместе с соответствующими начальными условиями и определяют представление исходной нелинейной задачи в виде задачи Коши.
