20. Внешнее воздействие произвольного вида
В этом параграфе мы покажем, что наши методы легко обобщаются и на случай функций 
произвольного вида.
Рассмотрим интегральное уравнение
где 
непрерывная функция, а ядро к определено ранее. Погружая, как и ранее уравнение (1) в семейство аналогичных задач, получим семейство уравнений
Построим теперь задачу Коши для функции 
. Продифференцировав (2) по 
получим
Рассматривая (3) как линейное интегральное уравнение относительно функции их, запишем его решение в виде
где 
определяется уравнением (19.4). Ранее мы уже показали, как строится задача Коши для функции 
поэтому нам остается лишь рассмотреть функцию 
По определению 
удовлетворяет уравнению
Используя (2.2), запишем (5) в виде
где изменен порядок интегрирования и введена новая функция
Продифференцировав (7) по 
получим дифференциальное уравнение относительно функции 
Последний член этого равенства можно записать в виде
Преобразуем к более удобному виду следующий интеграл:
Для этого докажем лемму. Пусть
Перемножая эти уравнения крест-накрест и приводя подобные члены, легко показать, что
Применяя эту лемму к (10), получим
Используя интегральное уравнение (19.3; для функции 
приходим к соотношению
Благодаря ему уравнение для функции 
можно переписать в виде
или
Начальное условие для 
получается из уравнения (7):
