20. Вывод задачи Коши

Начнем вывод приведенных выше соотношений, продифференцировав уравнения по . В результате получим

Здесь точка обозначает производную по первому аргументу, а нижний индекс по второму.

Введем функции как решения неоднородных интегро-дифференциальных уравнений

с однородными граничными условиями

Рассматривая уравнения как неоднородную систему интегро-дифференциальных уравнений относительно их и с неоднородными граничными условиями, с помощью принципа суперпозиции получим следующее решение:

Из граничного условия (19.4) сразу следует, что и

Рассмотрим теперь функции

Введем новые функции и как решение системы

Учитывая вид ядра к и уравнения легко видеть, что

Перейдем теперь к определению и

Продифференцировав по получим

Поскольку

и

то ясно, что

Определим функцию а как

Из уравнений (12) и (24) следует, что

Введем для удобства новые обозначения

и

Вспоминая определение ядра к, запишем

Это уравнение можно переписать окончательно в виде

Перейдем теперь к рассмотрению функции Продифференцировав уравнение (27) по получай

Упрощая, запишем это уравнение в виде

где

Рассмотрим теперь функцию Из уравнения (33) получаем

Из этого уравнения вытекает, что

Заметим, что

Используя уравнение (15), преобразуем интеграл в (35) следующим образом:

В результате получим дифференциальное уравнение для

Перейдем, наконец, к рассмотрению функции определенной ранее формулой

Продифференцировав (40) по получим

Итак, мы получили дифференциальные уравнения для функций Это уравнения (41), (39), (30) и (32). Из определений этих функций вытекает, что все начальные условия при однородны для всех

Пусть фиксированное неотрицательное число из интервала Тогда уравнения (23), (24), (9) и (10) являются дифференциальными уравнениями для функций у. Это завершает вывод задачи Коши.

Замечания и литература

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)