3. Классическая формулировка

Обычная формулировка задачи о разорении игрока начинается с введения функции и определенной так:

вероятность того, что игрок, начиная с капиталом к, накопит капитал прежде, чем разорится.

Переводя словесное описание задачи на язык математических уравнений, получим для функции и следующее разностное уравнение:

Условия при имеют вид

и отражают тот факт, что без начального капитала игрок не может играть, а если он имеет капитал то тем самым он уже достиг цели. Мы пользуемся обозначением для того, чтобы явно подчеркнуть, что и зависит от того, какой капитал игрок хочет накопить за время игры.

Несмотря на то, что уравнение (1) имеет вид простого линейного разностного уравнения второго порядка, оно при непостоянных и дне имеет явного решения. Поэтому в данном случае приходится обращаться к численным методам. Видно, что если начальные условия заданы в двух соседних точках то использовав их, с помощью уравнения (1) можно

легко получить последовательные значения функции и Это как раз тот тип вычислений, для которого прекрасно приспособлены цифровые вычислительные машины. К сожалению, условия (2) и (3) заданы не столь удобным образом, так как определены для двух разнесенных точек Результатом такого «двухточечного задания начальных условий является то, что ни один из обычных итеративных методов не может быть применен для решения этой задачи. Покажем теперь, как иной подход к данной задаче позволяет обойти эти аналитические и вычислительные препятствия.