7. Инвариантное погружение

Подход на основе инвариантного погружения к решению задачи (6.1) — (6.2) принципиально отличается от изложенного выше. Здесь параметр варьируется в то время, как остается постоянным. Как мы увидим в дальнейшем, такой подход к решению позволяет одновременно обойтись и без граничных задач, и без двухшаговых методов.

Поскольку решение системы зависит как от так и от введем обозначения, которые отражали бы этот факт. Запишем граничную задачу в виде

Рассмотрим соответствующую задачу на интервале длины

Система уравнений (3) — (4) отличается от системы (6.1) и (6.2) лишь тем, что теперь граничное условие на есть а не 1. Таким образом, предполагая, что линейные задачи (1) — (2) и (3) — (4) обладают единственными решениями, мы получаем, что эти решения связаны уравнениями

Для того чтобы можно было использовать эти соотношения, нам необходимо иметь начальные условия для или при и более подробную информацию о как о функции от

Положив в уравнениях (3) и получим

где

Предполагая, что решение системы уравнений (7), (8) можно записать в виде

Выведем теперь рекуррентные соотношения для определения последовательности Подставив в с помощью уравнений (9) — (11) получим

Разрешая это уравнение относительно получим рекуррентное соотношение

Начальное условие при имеет вид

Сравнивая задачи Коши для последовательностей мы видим, что

До сих пор методы перекрываются. Однако основные соотношения и идеи методов различны.