Глава 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА

1. Введение

Учитывая, что теория инвариантного погружения с успехом справляется с двухточечными граничными задачами, и имея в виду тесную связь этих задач с интегральными уравнениями Фредгольма, попробуем теперь применить наши процедуры к различным типам линейных интегральных уравнений. Центральным объектом наших исследований будет интегральное уравнение типа уравнений в свертках

которое возникает в теории оптимальной фильтрации, химии полимеров, распространении излучения и многих других областях физики и техники.

Прежде всего мы покажем, что введением некоторого подходящего параметра погружения можно выразить решение уравнения (1) через дополнительную функцию Ф. При выводе формулы для представления функции и через Ф будут получены некоторые неклассические результаты, касающиеся резольвенты Фредгольма.

Далее будет описан один численный метод решения уравнения (1) с помощью уравнений погружения и приведен наглядный пример.

Затем будет изложено доказательство того, что введенная задача Коши действительно дает решение задачи (1). По ходу доказательства будет введено несколько новых функций, которые представляют интерес сами по себе.

Наконец, в завершение главы мы рассмотрим различные вопросы теории интегральных уравнений и ее связи

с теорией инвариантного погружения. Мы увидим, что собственные функции и собственные значения могут быть вычислены из уравнений погружения и что с помощью задачи Коши можно вычислить резольвенту Фредгольма. Тесная связь между идеей погружения и этими хорошо изученными областями классического анализа открывает путь для гораздо более глубокого понимания теории инвариантного погружения.

2. Основная задача

Чтобы упростить изложение основных идей насколько это возможно и тем не менее покрыть широкий класс нетривиальных и важных задач, пока ограничимся рассмотрением интегрального уравнения Фредгольма

где ядро к представимо в виде

Более того, будем предполагать, что функция (такова, что уравнение (1) обладает единственным решением на интервале для всех непрерывных внешних воздействий

3. Погружение

По аналогии с двухточечной граничной задачей постараемся погрузить уравнение (1) в семейство задач, для которого можно вывести соотношения, связывающие соседние члены этого семейства, и такое, что для него можно найти соответствующее «начальное условие».

4. Производящая функция

Для получения решения задачи (2.1) мы привлекаем одно из мощных средств анализа — производящую функцию. Мы постараемся получить некоторую функцию,

которую можно вычислить и через которую может быть выражено решение семейства интегральных уравнений.

Пусть функция определяется интегральным уравнением

Определим, кроме того, функцию формулой

Тогда мы утверждаем, что решение семейства интегральных уравнений

выражается формулой

Доказательство проводится очень просто. Продифференцировав обе части уравнения (3) по получим

Рассматривая уравнение (5) как интегральное уравнение относительно функции видим, что его решением является

Проинтегрировав это уравнение, приходим к уравнению

Для можно записать

Перемйожив уравнения (1) и (3) крест на крест, проинтегрировав полученное равенство до воспользовавшись симметрией ядра к, получаем

Таким образом, уравнение (8) принимает вид

Тогда уравнение (7) приводится к виду

что и требовалось доказать.