Глава 1. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Введение
Теория инвариантного погружения заставляет переосмыслить наше понимание того, как следует ставить математические задачи. Формулировка задачи, удовлетворительная для аналитического исследования, может оказаться неудачной с вычислительной точки зрения и наоборот. Одним из примеров является правило Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений. В этой главе мы намереваемся рассмотреть один простой материальный процесс сначала с традиционной точки зрения, а затем с позиций инвариантного погружения. Поступая таким образом, мы сможем выделить существенные черты обоих подходов и сравнить их достоинства и недостатки.
Мы собираемся рассмотреть классическую задачу «о разорении игрока». Несмотря на ее идейную простоту, эта задача обладает всеми качествами, необходимыми для объяснения основных идей инвариантного погружения. Полное понимание этого примера послужит отправной точкой для разбора более сложных примеров, рассматриваемых в последующих главах.
После обсуждения данного процесса мы перейдем к рассмотрению более общей задачи применения инвариантного погружения к системам линейных разностных уравнений. Помимо того, что этот пример представляет и собственный интерес, он послужит моделью для разбора в гл. 2 двухточечной граничной задачи.