3. Стационарные системы с бесконечным временем наблюдения.

а) Регулирование состояния системы. Уравнение движения системы имеет вид

Рассмотрим предельный случай, когда конец интервала наблюдения . При этом функционал, который требуется минимизировать, будет иметь вид

где Q и R — постоянные, положительно-определенные матрицы. На управление ограничения не наложены. Предполагается, что рассматриваемая система вполне управляема, то есть

Уравнение Риккати (31) теперь принимает вид

Так как в функционале в отличие от функционала (2) , то граничное условие (28) принимает теперь вид

Решение уравнения Риккати, удовлетворяющее граничному условию , обозначим через . Как следует из результатов Калмана [34], при для стационарных вполне управляемых систем это решение имеет при предел

где — постоянная, симметрическая положительно-определенная матрица, являющаяся решением нелинейного матричного алгебраического уравнения

Аналогично (48) оптимальное управление имеет вид

Дифференциальное уравнение движения оптимальной системы будет следующим:

причем оптимальная система асимптотически устойчива, то есть

Минимальное значение функционала

будет аналогично (44) следующим:

б) Регулирование выхода системы. Система описывается уравнениями

Требуется минимизировать функционал

где Q и R — постоянные, положительно-определенные матрицы. На управление ограничения не наложены. Предполагается, что рассматриваемая система вполне управляема и вполне наблюдаема, то есть

Аналогично предыдущей задаче в предельном случае при оптимальное управление будет

где постоянная симметрическая положительно-определенная матрица есть решение нелинейного матричного алгебраического уравнения

Уравнение движения оптимальной системы

Оптимальная система асимптотически устойчива, то есть

Минимальное значение функционала

будет следующим: