3. Задача о быстродействии.

К задачам, у которых момент времени окончания процесса управления заранее не фиксирован, относится и задача об управлении, оптимальном по быстродействию.

Рассмотрим систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением

где и — векторы следующего вида:

На управляющие силы наложены ограничения

(14.38)

которые, в частности, могут иметь и такой вид:

(14.39)

Требуется найти оптимальное управление , которое за минимально возможное время Т приводит систему из начального состояния в состояние , то есть в начало координат в фазовом пространстве.

Минимально возможное время Г, в течение которого управление «ей приводит систему из точки в точку , является функцией от начального состояния системы

(14.40)

и задача о быстродействии будет, таким образом, частным случаем рассмотренной в п. 2 задачи о минимизации функционала (25)

Действительно, полагая

(14.41)

найдем, что при этом функционал Q представляет собой время приведения системы из начального состояния в состояние :

(14.42)

и, следовательно,

(14.43)

Учитывая, что в качестве начального состояния можно принять любое текущее состояние и предполагая, что функция непрерывна и всюду имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам, найдем в соответствии с (36) и (41) следующее дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которому удовлетворяет функция :

или

(14.44)

Уравнение (44) и является уравнением Беллмана в задаче о быстродействии.

Минимизация по и выражения в квадратных скобках в левой части (44) при условии (38) позволит определить оптимальное управление , которое будет представлено в виде функции от . При подстановке в (44) указанного значения получим не содержащее и уравнение первого порядка в частных производных. Решение этого уравнения должно удовлетворять граничному условию

(14.45)

Если это решение удастся найти, то будет определено в виде явной функции от фазовых координат системы оптимальное управление .

К сожалению, получить решение уравнения (44) в замкнутом виде удается лишь в простейших случаях.

Пример. В качестве примера рассмотрим задачу о быстродействии в линейной системе, описываемой скалярными дифференциальными уравнениями

(14,46)

где на управления наложены ограничения

(14.47)

Системе (46) эквивалентно векторное дифференциальное уравнение

(14.48)

где

(14.49)

В соответствии с (37) в рассматриваемом примере

(14.50)

и уравнение Беллмана (44) принимает здесь следующий вид:

(14.51)

Уравнение (51) можно переписать так:

(14.52)

При ограничениях (47) наименьшее возможное значение выражению, расположенному в квадратных скобках в левой части уравнения (52), доставляют управления

(14.53)

При управлениях (53) уравнение Беллмана (52) принимает вид

(14.54)

Мы получили не содержащее управлений нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных (54), решение которого должно удовлетворять граничным условиям

(14.55)

Полученное здесь уравнение Беллмана (54) должно рассматриваться в области, где функция Т непрерывна и имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам.