3. Задача о быстродействии.
К задачам, у которых момент времени 
окончания процесса управления заранее не фиксирован, относится и задача об управлении, оптимальном по быстродействию.
Рассмотрим систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением
где 
и 
— векторы следующего вида:
На управляющие силы 
наложены ограничения
(14.38)
которые, в частности, могут иметь и такой вид:
(14.39)
Требуется найти оптимальное управление 
, которое за минимально возможное время Т приводит систему из начального состояния 
в состояние 
, то есть в начало координат в фазовом пространстве.
Минимально возможное время Г, в течение которого управление «ей приводит систему из точки 
в точку 
, является функцией от начального состояния системы
(14.40)
и задача о быстродействии будет, таким образом, частным случаем рассмотренной в п. 2 задачи о минимизации функционала (25)
Действительно, полагая
(14.41)
найдем, что при этом функционал Q представляет собой время приведения системы из начального состояния 
в состояние 
:
(14.42)
и, следовательно,
(14.43)
Учитывая, что в качестве начального состояния можно принять любое текущее состояние 
и предполагая, что функция 
непрерывна и всюду имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам, найдем в соответствии с (36) и (41) следующее дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которому удовлетворяет функция 
:
или
(14.44)
Уравнение (44) и является уравнением Беллмана в задаче о быстродействии.
Минимизация по и выражения в квадратных скобках в левой части (44) при условии (38) позволит определить оптимальное управление 
, которое будет представлено в виде функции от 
. При подстановке в (44) указанного значения 
получим не содержащее и уравнение первого порядка в частных производных. Решение этого уравнения должно удовлетворять граничному условию
(14.45)
Если это решение удастся найти, то будет определено в виде явной функции от фазовых координат системы оптимальное управление 
.
К сожалению, получить решение уравнения (44) в замкнутом виде удается лишь в простейших случаях.
Пример. В качестве примера рассмотрим задачу о быстродействии в линейной системе, описываемой скалярными дифференциальными уравнениями
(14,46)
где на управления 
наложены ограничения
(14.47)
Системе (46) эквивалентно векторное дифференциальное уравнение
(14.48)
где
(14.49)
В соответствии с (37) в рассматриваемом примере
(14.50)
и уравнение Беллмана (44) принимает здесь следующий вид:
(14.51)
Уравнение (51) можно переписать так:
(14.52)
При ограничениях (47) наименьшее возможное значение выражению, расположенному в квадратных скобках в левой части уравнения (52), доставляют управления
(14.53)
При управлениях (53) уравнение Беллмана (52) принимает вид
(14.54)
Мы получили не содержащее управлений 
нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных (54), решение которого должно удовлетворять граничным условиям
(14.55)
Полученное здесь уравнение Беллмана (54) должно рассматриваться в области, где функция Т непрерывна и имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам.
