Главная > Автоматическое управление
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 18. Принцип максимума для неавтономных систем

1. Теорема о необходимом условии оптимальности для неавтономных систем.

Рассмотрим теперь систему, описываемую дифференциальными уравнениями

которым эквивалентно векторное уравнение

где и - векторы следующего вида:

Требуется перевести систему из точки фазового пространства X в заданную точку . Момент времени , в который изображающая точка попадет в точку , заранее не фиксируется.

Управление и должно удовлетворять ограничениям

причем область предполагается не зависящей от времени.

С учетом ограничений (4) требуется выбрать управление и так, чтобы функционал

принимал наименьшее возможное значение.

Удовлетворяющее этим условиям управление и, соответствующую ему траекторию и промежуток времени будем считать оптимальными.

Как и выше, обозначим через скалярную функцию, определяемую дифференциальным уравнением

и начальным условием

В соответствии с (6) и (7) функционал (5) можно представить так:

Введем теперь еще скалярную функцию , определяемую дифференциальным уравнением

и начальным условием

Очевидно, что

(18.11)

Пространство переменных обозначим через .

Систему уравнений (1) и уравнение (6) можно теперь записать совместно так:

(18.12)

Рассматриваемую здесь задачу можно теперь сформулировать так. Требуется найти оптимальную траекторию, соединяющую в пространстве точку с некоторой точкой прямой (рис. 18.1), проходящей через точку параллельно оси .

Рассматриваемая задача, таким образом, приведена к оптимальной автономной задаче с закрепленным левым концом, но подвижным правым концом. Вследствие подвижности правого конца траектории теорема 1 (§ 17) непосредственно не может быть здесь применена.

Рис. 18.1.

Впомогательная система уравнений (17.9) здесь принимает вид

(18.13)

(18.14)

Аналогично (17.10) обозначим

(18.15)

Уравнения (12) и (13) можно представить в виде

(18.16)

Необходимое условие оптимальности для неавтономной системы дается следующей теоремой.

Теорема (принцип максимума для неавтономных систем) [72]. Пусть - такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория системы (1), исходящая в момент из точки , проходит в момент через точку .

Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции соответствующей функциям и что:

. Для любого момента являющегося точкой непрерывности управления , функция переменного достигает в точке максимума

(18.17)

. Выполнены соотношения

Оказывается, далее, что если величины удовлетворяют системе (12), (13) и условию , то функция переменного t постоянна, а функция может лишь на константу отличаться от интеграла, указанного в (19), так что проверку соотношений (18) и (19) достаточно произвести лишь в какой-либо один момент времени например, вместо (18) и (19) достаточно проверить соотношения

(18.20)

Из сравнения приведенной здесь теоремы с теоремой 1 (§ 17) видно, что и для неавтономных систем, описываемых уравнениями вида (1), первая часть теоремы 1 — принцип максимума — полностью сохраняется.

Отличие состоит лишь в том, что у неавтономных систем функция

теперь уже не является константой, а определяется выражением (19).

1
Оглавление
email@scask.ru