§ 18. Принцип максимума для неавтономных систем

1. Теорема о необходимом условии оптимальности для неавтономных систем.

Рассмотрим теперь систему, описываемую дифференциальными уравнениями

которым эквивалентно векторное уравнение

где и - векторы следующего вида:

Требуется перевести систему из точки фазового пространства X в заданную точку . Момент времени , в который изображающая точка попадет в точку , заранее не фиксируется.

Управление и должно удовлетворять ограничениям

причем область предполагается не зависящей от времени.

С учетом ограничений (4) требуется выбрать управление и так, чтобы функционал

принимал наименьшее возможное значение.

Удовлетворяющее этим условиям управление и, соответствующую ему траекторию и промежуток времени будем считать оптимальными.

Как и выше, обозначим через скалярную функцию, определяемую дифференциальным уравнением

и начальным условием

В соответствии с (6) и (7) функционал (5) можно представить так:

Введем теперь еще скалярную функцию , определяемую дифференциальным уравнением

и начальным условием

Очевидно, что

(18.11)

Пространство переменных обозначим через .

Систему уравнений (1) и уравнение (6) можно теперь записать совместно так:

(18.12)

Рассматриваемую здесь задачу можно теперь сформулировать так. Требуется найти оптимальную траекторию, соединяющую в пространстве точку с некоторой точкой прямой (рис. 18.1), проходящей через точку параллельно оси .

Рассматриваемая задача, таким образом, приведена к оптимальной автономной задаче с закрепленным левым концом, но подвижным правым концом. Вследствие подвижности правого конца траектории теорема 1 (§ 17) непосредственно не может быть здесь применена.

Рис. 18.1.

Впомогательная система уравнений (17.9) здесь принимает вид

(18.13)

(18.14)

Аналогично (17.10) обозначим

(18.15)

Уравнения (12) и (13) можно представить в виде

(18.16)

Необходимое условие оптимальности для неавтономной системы дается следующей теоремой.

Теорема (принцип максимума для неавтономных систем) [72]. Пусть - такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория системы (1), исходящая в момент из точки , проходит в момент через точку .

Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции соответствующей функциям и что:

. Для любого момента являющегося точкой непрерывности управления , функция переменного достигает в точке максимума

(18.17)

. Выполнены соотношения

Оказывается, далее, что если величины удовлетворяют системе (12), (13) и условию , то функция переменного t постоянна, а функция может лишь на константу отличаться от интеграла, указанного в (19), так что проверку соотношений (18) и (19) достаточно произвести лишь в какой-либо один момент времени например, вместо (18) и (19) достаточно проверить соотношения

(18.20)

Из сравнения приведенной здесь теоремы с теоремой 1 (§ 17) видно, что и для неавтономных систем, описываемых уравнениями вида (1), первая часть теоремы 1 — принцип максимума — полностью сохраняется.

Отличие состоит лишь в том, что у неавтономных систем функция

теперь уже не является константой, а определяется выражением (19).