§ 18. Принцип максимума для неавтономных систем
1. Теорема о необходимом условии оптимальности для неавтономных систем.
Рассмотрим теперь систему, описываемую дифференциальными уравнениями
которым эквивалентно векторное уравнение
где 
и 
- векторы следующего вида:
Требуется перевести систему из точки 
фазового пространства X в заданную точку 
. Момент времени 
, в который изображающая точка попадет в точку 
, заранее не фиксируется.
Управление и 
должно удовлетворять ограничениям
причем область 
предполагается не зависящей от времени.
С учетом ограничений (4) требуется выбрать управление и так, чтобы функционал
принимал наименьшее возможное значение.
Удовлетворяющее этим условиям управление и, соответствующую ему траекторию и промежуток времени 
будем считать оптимальными.
Как и выше, обозначим через 
скалярную функцию, определяемую дифференциальным уравнением
и начальным условием
В соответствии с (6) и (7) функционал (5) можно представить так:
Введем теперь еще скалярную функцию 
, определяемую дифференциальным уравнением
и начальным условием
Очевидно, что
(18.11)
Пространство переменных 
обозначим через 
.
Систему уравнений (1) и уравнение (6) можно теперь записать совместно так:
(18.12)
Рассматриваемую здесь задачу можно теперь сформулировать так. Требуется найти оптимальную траекторию, соединяющую в пространстве 
точку 
с некоторой точкой прямой 
(рис. 18.1), проходящей через точку 
параллельно оси 
.
Рассматриваемая задача, таким образом, приведена к оптимальной автономной задаче с закрепленным левым концом, но подвижным правым концом. Вследствие подвижности правого конца траектории теорема 1 (§ 17) непосредственно не может быть здесь применена.
Рис. 18.1.
Впомогательная система уравнений (17.9) здесь принимает вид
(18.13)
(18.14)
Аналогично (17.10) обозначим
(18.15)
Уравнения (12) и (13) можно представить в виде
(18.16)
Необходимое условие оптимальности для неавтономной системы дается следующей теоремой.
Теорема (принцип максимума для неавтономных систем) [72]. Пусть 
- такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория 
системы (1), исходящая в момент 
из точки 
, проходит в момент 
через точку 
.
Для оптимальности управления 
и траектории 
необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции 
соответствующей функциям 
и 
что:
. Для любого момента 
являющегося точкой непрерывности управления 
, функция 
переменного 
достигает в точке 
максимума
(18.17)
. Выполнены соотношения
Оказывается, далее, что если величины 
удовлетворяют системе (12), (13) и условию 
, то функция 
переменного t постоянна, а функция 
может лишь на константу отличаться от интеграла, указанного в (19), так что проверку соотношений (18) и (19) достаточно произвести лишь в какой-либо один момент времени 
например, вместо (18) и (19) достаточно проверить соотношения
(18.20)
Из сравнения приведенной здесь теоремы с теоремой 1 (§ 17) видно, что и для неавтономных систем, описываемых уравнениями вида (1), первая часть теоремы 1 — принцип максимума — полностью сохраняется.
Отличие состоит лишь в том, что у неавтономных систем функция
теперь уже не является константой, а определяется выражением (19).
