4. Оптимальная фильтрация коррелированных шумов.

Оптимальные фильтры Калмана — Бьюси построены в предыдущих разделах для случая, когда помехи представляют собой белый шум. Обобщение на случай, когда измерения сигнала на выходе системы искажены шумами, образуемыми в результате прохождения белого шума через линейную нестационарную систему, дано в работах Бьюси [19].

Рассмотрим систему, описываемую векторными уравнениями

(27.109)

Здесь x — -мерный вектор состояния системы; — -мерный вектор, представляющий сигнал на входе системы; — -матрица; - -матрица; -мерный вектор; V — -мерный вектор; --матрица; - -мерный вектор; С — постоянная -матрица.

Входной сигнал есть векторный случайный гауссов процесс типа белого шума с нулевым средним значением

(27.110)

и корреляционной матрицей

(27.111)

где — дельта-функция Дирака, а - симметрическая неотрицательно-определенная -матрица.

Сигнал есть векторный случайный гауссов процесс типа белого шума с нулевым средним значением

(27.112)

и корреляционной матрицей

(27.113)

где — симметрическая положительно-определенная -матрица.

Вектор с — гауссова -мерная векторная случайная величина, не зависящая от и с нулевым средним значением и известной корреляционной матрицей

(27.114)

Вектор — гауссова -мерная векторная случайная величина, не зависящая от , с нулевым средним значением и известной корреляционной матрицей

(27.115)

Предполагается, что , и некоррелированы.

Через обозначим оптимальную, то есть доставляющую минимум функционалу (24), оценку состояния системы (109) по доступной измерению на отрезке времени вектор-функции .

Аналогично (26.116) оптимальная оценка удовлетворяет лемме об ортогональной проекции в гильбертовом пространстве, которая в данной задаче приводит к соотношению

(27.116)

Обозначим через и следующие симметрические -матрицы:

(27.117)

(27.118)

Будем далее предполагать, что и — положительно-определенные матрицы.

Как показано Бьюси [19], оптимальная оценка состояния системы (109) будет

(27.119)

где -решение дифференциального уравнения

(27.120)

Здесь через обозначена следующая -матрица:

(27.121)

а представляет собой решение матричного дифференциального уравнения Риккати

(27.122)

удовлетворяющее начальному условию

(27.123)

Дифференциальное уравнение (120) является уравнением оптимального фильтра для рассматриваемой здесь задачи. Обозначим через -мерную вектор-функцию

(27.124)

Через и обозначим следующие и -матрицы:

(27.125)

(27.126)

Уравнение (120) оптимального фильтра можно теперь преобразовать к следующему виду:

(27.127)

В отличие от уравнения (120), уравнение (127) не содержит в своей правой части производной от определяемой при помощи наблюдений вектор-функции .

Определив из дифференциального уравнения (127) вектор-функцию , найдем в соответствии с (124) и (119) искомую оценку состояния системы:

(27.128)

Покажем еще, что уравнение Риккати (122) можно привести к виду, аналогичному уравнению (80). Для этого введем следующие обозначения:

Заметим, что поскольку и — симметрические матрицы, то согласно (121) и (129) имеют место следующие соотношения:

(27.130)

(27.131)

(27.132)

Подставляя выражение (132) в уравнение (122), приведем это уравнение к виду

(27.133)

Дифференциальное уравнение (127) оптимального фильтра, в соответствии с (130) и (129), принимает вид

Дифференциальное уравнение Риккати (133) отличается от уравнения Риккати (80) лишь заменой параметров и соответственно на и . В таком же соответствии находятся и однородные дифференциальные уравнения, которые образуются из уравнений (134) и (82) при . Поэтому приведенные в п. 3 результаты для систем с бесконечным временем наблюдения распространяются и на рассматриваемую здесь задачу. Разумеется, входящие в соотношения (103), (104) и (105) функции и должны быть при этом заменены функциями и соответственно.