3. Минимальный полином матрицы.

Скалярный полином называется аннулирующим полиномом квадратной матрицы A, если

Аннулирующий полином наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным полиномом матрицы А.

Согласно теореме Гамильтона — Кэли характеристический полином матрицы А является аннулирующим для матрицы А. Однако в общем случае этот полином не является минимальным.

Можно показать, что произвольный аннулирующий полином матрицы делится без остатка на ее минимальный полином (X). Действительно, разделив на , получим

(10.12)

где степень ниже степени . Из соотношения (12) следует, что

(10.13)

Так как , то и . Но степень ниже степени минимального полинома . Поэтому , то есть делится без остатка на .

Пусть и являются минимальными полиномами для матрицы А. Тогда они делятся друг на друга без остатка, то есть эти полиномы отличаются постоянным множителем. Но так как старшие коэффициенты и равны единице, то . Таким образом, доказана единственность минимального полинома для данной матрицы А.

Обозначим через общий наибольший делитель всех миноров -го порядка характеристической матрицы , то есть общий наибольший делитель элементов присоединенной матрицы . При этом коэффициент при старшей степени в полиноме приводим к единице. Полином называется детерминантным делителем -го порядка матрицы . Из изложенного следует, что

(10.14)

где - некоторая полиномная матрица, которая называется приведенной присоединенной матрицей для матрицы .

Умножая левую и правую части соотношения (14) слева на матрицу , получим согласно (7), что

(10.15)

Разлагая характеристический определитель по элементам какой-либо строки, получим сумму слагаемых, каждое из. которых делится без остатка на и, следовательно, делится без остатка на , то есть

(10.16)

где — некоторый полином. (Этот полином является старшим инвариантным множителем характеристической матрицы ).

Из выражений (15) и (16) следует, что

(10.17)

Заметим, что, умножая левую и правую части соотношения (14) справа на матрицу , получим согласно (8)

(10.18)

откуда в соответствии с (16) будем иметь

(10.19)

то есть является одновременно и левым и правым частным от деления на .

Таким образом, матричный полином делится без остатка слева (и справа) на матрицу . Поэтому согласно обобщенной теореме Безу

(10.20)

и, следовательно, является аннулирующим полиномом для матрицы А.

Докажем теперь, что является минимальным полиномом. Пусть минимальным полиномом матрицы А будет . Тогда делится без остатка на , то есть

Так как , то согласно обобщенной теореме Безу матричный полином делится слева без остатка на :

(10.22)

Умножая левую и правую части соотношения (22) на полином , получим

(10.23)

Сравнивая соотношения (23) и (17), найдем, что

(10.24)

Из соотношения (24) следует, что является общим делителем всех элементов полиномной матрицы . Но, как видно из (14), общий наибольший делитель всех элементов матрицы равен некоторому постоянному числу, ибо матрица получена делением матрицы на общий наибольший делитель ее элементов . Таким образом, . Так как старшие коэффициенты и равны единице, то из (21) найдем, что и, следовательно, .

Таким образом, , то есть является минимальным полиномом матрицы A.

Таким образом, согласно (16) минимальный полином матрицы А определяется формулой

Обратимся теперь к формуле (17):

Так как определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей, , то будем иметь

(10.26)

Отсюда следует, что делится без остатка на , а согласно (25) делится без остатка на и, следовательно, нули полинома совпадают с нулями полинома , хотя кратности этих нулей в общем случае будут у и различными. Таким образом, нулями минимального полинома будут все различные между собой характеристические числа матрицы А.

Из изложенного следует, что если

(10.27

где

(10.28)

то минимальный полином будет иметь вид

(10.29)

где

(10.30)

Степень m минимального полинома будет

(10.31)

Двучлены являются старшими элементарными делителями матрицы .