Главная > Автоматическое управление
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Минимальный полином матрицы.

Скалярный полином называется аннулирующим полиномом квадратной матрицы A, если

Аннулирующий полином наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным полиномом матрицы А.

Согласно теореме Гамильтона — Кэли характеристический полином матрицы А является аннулирующим для матрицы А. Однако в общем случае этот полином не является минимальным.

Можно показать, что произвольный аннулирующий полином матрицы делится без остатка на ее минимальный полином (X). Действительно, разделив на , получим

(10.12)

где степень ниже степени . Из соотношения (12) следует, что

(10.13)

Так как , то и . Но степень ниже степени минимального полинома . Поэтому , то есть делится без остатка на .

Пусть и являются минимальными полиномами для матрицы А. Тогда они делятся друг на друга без остатка, то есть эти полиномы отличаются постоянным множителем. Но так как старшие коэффициенты и равны единице, то . Таким образом, доказана единственность минимального полинома для данной матрицы А.

Обозначим через общий наибольший делитель всех миноров -го порядка характеристической матрицы , то есть общий наибольший делитель элементов присоединенной матрицы . При этом коэффициент при старшей степени в полиноме приводим к единице. Полином называется детерминантным делителем -го порядка матрицы . Из изложенного следует, что

(10.14)

где - некоторая полиномная матрица, которая называется приведенной присоединенной матрицей для матрицы .

Умножая левую и правую части соотношения (14) слева на матрицу , получим согласно (7), что

(10.15)

Разлагая характеристический определитель по элементам какой-либо строки, получим сумму слагаемых, каждое из. которых делится без остатка на и, следовательно, делится без остатка на , то есть

(10.16)

где — некоторый полином. (Этот полином является старшим инвариантным множителем характеристической матрицы ).

Из выражений (15) и (16) следует, что

(10.17)

Заметим, что, умножая левую и правую части соотношения (14) справа на матрицу , получим согласно (8)

(10.18)

откуда в соответствии с (16) будем иметь

(10.19)

то есть является одновременно и левым и правым частным от деления на .

Таким образом, матричный полином делится без остатка слева (и справа) на матрицу . Поэтому согласно обобщенной теореме Безу

(10.20)

и, следовательно, является аннулирующим полиномом для матрицы А.

Докажем теперь, что является минимальным полиномом. Пусть минимальным полиномом матрицы А будет . Тогда делится без остатка на , то есть

Так как , то согласно обобщенной теореме Безу матричный полином делится слева без остатка на :

(10.22)

Умножая левую и правую части соотношения (22) на полином , получим

(10.23)

Сравнивая соотношения (23) и (17), найдем, что

(10.24)

Из соотношения (24) следует, что является общим делителем всех элементов полиномной матрицы . Но, как видно из (14), общий наибольший делитель всех элементов матрицы равен некоторому постоянному числу, ибо матрица получена делением матрицы на общий наибольший делитель ее элементов . Таким образом, . Так как старшие коэффициенты и равны единице, то из (21) найдем, что и, следовательно, .

Таким образом, , то есть является минимальным полиномом матрицы A.

Таким образом, согласно (16) минимальный полином матрицы А определяется формулой

Обратимся теперь к формуле (17):

Так как определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей, , то будем иметь

(10.26)

Отсюда следует, что делится без остатка на , а согласно (25) делится без остатка на и, следовательно, нули полинома совпадают с нулями полинома , хотя кратности этих нулей в общем случае будут у и различными. Таким образом, нулями минимального полинома будут все различные между собой характеристические числа матрицы А.

Из изложенного следует, что если

(10.27

где

(10.28)

то минимальный полином будет иметь вид

(10.29)

где

(10.30)

Степень m минимального полинома будет

(10.31)

Двучлены являются старшими элементарными делителями матрицы .

1
Оглавление
email@scask.ru