7. Управляемые системы, содержащие звенья с запаздыванием и критерии устойчивости этих систем.

Рассмотрим одномерную управляемую систему (рис. 3.8), описываемую следующей системой скалярных дифференциальных уравнений:

(3.50)

где и некоторые полиномы (с постоянными коэффициентами) относительно оператора дифференцирования :

(3.51)

Первое уравнение (50) описывает процессы в первом звене системы (рис. 3.8). Передаточная функция этого звена имеет вид

. (3.52)

Второе уравнение (50) описывает процессы во втором звене, в котором происходит задержка сигнала на некоторый промежуток времени . Это звено можно назвать звеном с запаздыванием. Систему уравнений (50) можно заменить следующим эквивалентным ей дифференциально-разностным уравнением:

(3.53)

Дифференциально-разностные уравнения представляют собой важный класс функциональных уравнений. Теория дифференциально-разностных уравнений разрабатывалась в трудах Л. С. Понтрягина, А. Д. Мышкиса, Р. Веллмана, Н. Н. Красовского, Л. Э. Эльсгольца, В. И. Зубова и других ученых [11, 31, 43, 67, 92].

Собственные колебания в замкнутой управляемой системе (рис. 3.8) будут описываться однородным дифференциально-разностным уравнением

(3.54)

которое получается из уравнения (53) при .

Частное решение уравнения (54) будем искать в форме

(3.55)

где . Так как согласно (55)

то, подставляя выражение (55) в уравнение (54), получим

(3.56)

Так как , то из уравнения (56) следует, что должно быть корнем уравнения

(3.57)

где

(3.58)

Уравнение (57) является характеристическим уравнением для дифференциально-разностного уравнения (54). Как следует

из выражения (58), характеристическое уравнение (57) является трансцендентным уравнением.

Кратным корням характеристического уравнения (57) соответствует не только решение , но и решения

где - кратность корня .

Для линейных дифференциально-разностных уравнений вида (54) с постоянными коэффициентами и постоянным запаздыванием (), у которых все корни характеристического уравнения (57) имеют отрицательные действительные части, доказано [31], что любое решение может быть разложено в абсолютно и равномерно сходящийся ряд из основных решений

(3.59)

где - многочлены от степени не выше . Для этих уравнений доказано [31] также, что при

(3.60)

где и — постоянные величины, причем — сколь угодно малое положительное число.

Из изложенного следует, что для того, чтобы все решения уравнения (54) асимптотически стремились к нулю при , необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (57) имели отрицательные действительные части.

Таким образом, условие асимптотической устойчивости замкнутой управляемой системы (54), содержащей звенья с запаздыванием, состоит в том, что квазиполином (58), который можно представить в виде

(3.61)

где

(3.62)

не должен иметь нулей в правой полуплоскости комплексного переменного .

Как следует из доказательства критерия Найквиста, определение числа нулей квазиполинома , расположенных в правой полуплоскости комплексного переменного , можно и в рассматриваемой здесь задаче выполнить при помощи этого критерия, изложенного выше в пп. 2, 3 и 4. Эта возможность была указана Я. З. Цыпкиным. В соответствии с выражением (62)

(3.63)

Так как согласно (63)

то для любого вектор будет по модулю равен вектору , но повернут относительно него по направлению стрелки часов на угол (рис. 3.9). В области малых значений годографы векторов и отличаются мало, но с возрастанием со разность от аргументов и становится все более значительной. При годограф асимптотически навивается на расположенную на действительной оси точку .

Рис. 3.9.

Если существуют значения , для которых , то даже в случае, когда годограф вектора не охватывает точки , т. е. система без запаздывания устойчива, охват годографом вектора точки может оказаться возможным. Иными словами, возможны случаи, когда включение звена с запаздыванием в замкнутую устойчивую управляемую систему превращает эту систему в неустойчивую.

Эффективное построение решений дифференциально-разностных уравнений представляет собой достаточно трудную задачу. В некоторых случаях здесь целесообразно применить методы операционного исчисления. В качестве такого примера рассмотрим уравнение

(3.64)

Изображения функций и обозначим через и :

Так как

то изображение искомого решения будет следующим:

(3.65)

где

Для получения решения требуется найти оригинал, изображением которого является . Как видно из (65), искомое решение зависит от течения функции на отрезке . Функция

(3.66)

называемая начальной функцией, должна быть задана для возможности решения задачи. Решение уравнения (64), удовлетворяющее условию (66), обозначается .