Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Диссипативные системы.Диссипативными системами называются системы, у которых, помимо консервативных сил, в число приложенных сил входят еще диссипативные силы, то есть силы, работа которых рассеивает энергию системы. Рассмотрим систему с одной степенью свободы, у которой
Добавочная сила Согласно (10) канонические уравнения движения системы будут
Систему дифференциальных уравнений (41) можно заменить дифференциальным уравнением второго порядка
Обозначая
представим уравнение (42) в следующем виде:
Изучим движение системы при следующих начальных условиях:
Переходя к определению закона движения системы, предположим, что последующее за начальным моментом времени движение системы будет происходить при
Проинтегрировав это уравнение, надо будет проверить справедливость предположения о том, что При условии
будет иметь следующие корни:
Решение дифференциального уравнения (44) при начальных условиях (45) будет следующим:
Отсюда
Из выражения (49) видно, что
и, следовательно, сделанное выше предположение о том, что последующее за начальным моментом времени движение изображающей точки будет происходить в нижней фазовой полуплоскости, является справедливым. Таким образом, выражение (48) определяет собой закон движения системы на интервале времени точка в этот момент времени, пересекая ось абсцисс, переходит в верхнюю фазовую полуплоскость. Как следует из (48), обобщенная координата q в момент времени
где
Обозначая
получим согласно (51), что
Если начальное отклонение
Дальнейшее движение изображающей точки будет происходить в верхней фазовой полуплоскости, то есть будет иметь место уравнение (44)
Это уравнение надо проинтегрировать при следующих начальных условиях:
Решение уравнения (44) при начальных условиях (55) будет следующим:
Из выражения (56) найдем, что
Как следует из выражения (57),
и выражение (56) определяет собой закон движения системы на этом интервале времени. В момент времени Значение обобщенной координаты q в момент времени
где
Как видно из выражения (60), если Величины Если теперь обозначить через До начальную амплитуду, то согласно (53) и (60) будем иметь последовательность амплитуд, определяемых соотношениями
Покажем теперь, что движение системы заканчивается за конечный промежуток времени и прекращается в момент времени, когда изображающая точка попадает на отрезок Поскольку, как следует из формул (53) и (60), за каждое полуколебание амплитуда колебаний убывает на величину, превышающую
Рис. 8.7. Обратимся теперь к соотношениям (61). Обозначая через
Умножая первое соотношение (61) на
или
В случае, когда
и формула (63) примет вид
Если же в рассматриваемой системе отсутствуют силы сухого трения
При отсутствии сил сухого трения зона застоя у системы отсутствует, и собственные колебания системы затухают асимптотически при Из выражений (48) и (56) видно, что половина периода колебаний системы равна
Как видно из выражения (67), наличие сил сухого трения не влияет на величину периода собственных колебаний системы. Этот результат доказан здесь, однако, лишь для систем с одной степенью свободы.
|
1 |
Оглавление
|