3. Диссипативные системы.

Диссипативными системами называются системы, у которых, помимо консервативных сил, в число приложенных сил входят еще диссипативные силы, то есть силы, работа которых рассеивает энергию системы. Рассмотрим систему с одной степенью свободы, у которой

Добавочная сила представляет собой сумму сил сухого трения и сил вязкого трения.

Согласно (10) канонические уравнения движения системы будут

Систему дифференциальных уравнений (41) можно заменить дифференциальным уравнением второго порядка

Обозначая

представим уравнение (42) в следующем виде:

Изучим движение системы при следующих начальных условиях:

Переходя к определению закона движения системы, предположим, что последующее за начальным моментом времени движение системы будет происходить при , то есть на фазовой плоскости движение изображающей точки будет происходить в нижней полуплоскости. Тогда будет иметь место уравнение (44)

Проинтегрировав это уравнение, надо будет проверить справедливость предположения о том, что , и определить момент времени перехода изображающей точки в верхнюю полуплоскость.

При условии характеристическое уравнение

будет иметь следующие корни:

Решение дифференциального уравнения (44) при начальных условиях (45) будет следующим:

Отсюда

Из выражения (49) видно, что на интервале времени

и, следовательно, сделанное выше предположение о том, что последующее за начальным моментом времени движение изображающей точки будет происходить в нижней фазовой полуплоскости, является справедливым.

Таким образом, выражение (48) определяет собой закон движения системы на интервале времени . В момент времени обобщенная скорость , и изображающая

точка в этот момент времени, пересекая ось абсцисс, переходит в верхнюю фазовую полуплоскость.

Как следует из (48), обобщенная координата q в момент времени будет иметь следующее значение:

где

Обозначая

получим согласно (51), что

Если начальное отклонение , то

Дальнейшее движение изображающей точки будет происходить в верхней фазовой полуплоскости, то есть будет иметь место уравнение (44)

Это уравнение надо проинтегрировать при следующих начальных условиях:

Решение уравнения (44) при начальных условиях (55) будет следующим:

Из выражения (56) найдем, что

Как следует из выражения (57), на интервале времени , где

и выражение (56) определяет собой закон движения системы на этом интервале времени.

В момент времени обобщенная скорость , и изображающая точка в этот момент времени, пересекая ось абсцисс, переходит в нижнюю фазовую полуплоскость.

Значение обобщенной координаты q в момент времени будет согласно (56) следующим:

где

Как видно из выражения (60), если то .

Величины . представляют собой абсолютные значения абсцисс последовательных точек пересечения фазовой траектории системы с осью . Будем называть эти величины последовательными амплитудами. Из сравнения выражений (53) и (60) можно видеть, что формула, связывающая две последовательные амплитуды — одна и та же, как при переходе изображающей точки из верхней фазовой полуплоскости в нижнюю, так и при переходе из нижней полуплоскости в верхнюю.

Если теперь обозначить через До начальную амплитуду, то согласно (53) и (60) будем иметь последовательность амплитуд, определяемых соотношениями

Покажем теперь, что движение системы заканчивается за конечный промежуток времени и прекращается в момент времени, когда изображающая точка попадает на отрезок оси абсцисс фазовой плоскости (рис. 8.7). Отрезок оси абсцисс фазовой плоскости называется зоной застоя (или отрезком покоя) системы. Действительно, в любой точке этого отрезка и восстанавливающая сила уравновешивается силой сухого трения. Так как на оси абсцисс и сила вязкого трения обращается в нуль, то при попадании изображающей точки в зону застоя восстанавливающая сила уравновешивается силой сухого трения покоя и движение прекращается.

Поскольку, как следует из формул (53) и (60), за каждое полуколебание амплитуда колебаний убывает на величину, превышающую , то, какова бы ни была начальная амплитуда , через конечное число полуколебаний амплитуда системы достигнет значения, меньшего чем В, и движение прекратится. Таким образом, движение системы заканчивается за конечный промежуток времени.

Рис. 8.7.

Обратимся теперь к соотношениям (61). Обозначая через число полуколебаний, за которые заканчивается движение, будем иметь (рис. 8.7)

Умножая первое соотношение (61) на , второе на и т. д. и складывая соответственно левые и правые части вновь полученных соотношений, найдем, что

или

В случае, когда , то есть в состав диссипативных сил, приложенных к системе, входит лишь сила сухого трения, будем иметь

и формула (63) примет вид

Если же в рассматриваемой системе отсутствуют силы сухого трения , то формула (63) принимает вид

При отсутствии сил сухого трения зона застоя у системы отсутствует, и собственные колебания системы затухают асимптотически при .

Из выражений (48) и (56) видно, что половина периода колебаний системы равна . Период колебаний системы будет

Как видно из выражения (67), наличие сил сухого трения не влияет на величину периода собственных колебаний системы. Этот результат доказан здесь, однако, лишь для систем с одной степенью свободы.