3. Минимально-фазовые системы.

Для одномерной управляемой системы соотношение (18) принимает вид

(5.33)

Обозначая

(5.34)

можно переписать соотношение (33) так:

(5.35)

Аналогично соотношение (32) для одномерной системы принимает вид

(5.36)

В выражении (36) учтено, что

При выводе соотношений (18) и (32) предполагалось, что функция , представляющая собой дробно-рациональную функцию от :

(5.37)

является правильной дробью и что рассматриваемая система асимптотически устойчива. Последнее означает, что все нули полинома или, что то же, все полюсы функции расположены на плоскости комплексного переменного строго левее мнимой оси.

Заметим, без доказательства (, стр. 161, [41], стр. 246), что для асимптотически устойчивых систем (то есть для функции , все полюсы которой расположены в левой полуплоскости ) функции и определяют друг друга, будучи связаны следующими формулами, представляющими собой преобразование Гильберта:

(5.38)

Обозначая через модуль функции , а через ее аргумент, будем иметь

(5.39)

откуда следует, что

(5.40)

Функции и связаны с функцией таким же образом, как связаны и с функцией . Поэтому аналогично (38) можно утверждать, что если все полюсы функции расположены строго левее мнимой оси на плоскости комплексного переменного , то функции и будут удовлетворять соотношениям

(5.41)

Так как согласно (37)

(5.42)

то к числу особых точек функции относятся не только нули функции , но и нули функции . (При в соответствии с (42) )

Таким образом, формулы (41), позволяющие определить через и обратно, будут иметь место лишь в том случае, если у функции

не только все полюсы, но и все нули расположены строго левее мнимой оси на плоскости комплексного переменного . Системы, удовлетворяющие этому условию, называются минимально-фазовыми системами.

Минимально-фазовые системы отличаются тем, что из всех возможных систем с одной и той же амплитудной характеристикой сдвиг фазы-будет у них наименьшим по сравнению с другими системами при любом значении частоты . Сдвигом фазы называется отрицательное значение аргумента , то есть .

Так, например, функция

(5.43)

является передаточной функцией минимально-фазовой системы, в то время как функция

(5.44)

является передаточной функцией неминимально-фазовой системы.

Функцию можно представить так:

(5.45)

Отсюда

(5.46)

Так как

(5.47)

то

(5.48)

Обозначим

(5.49)

Как указано выше, функция называется сдвигом фазы. Смысл этого понятия состоит в следующем. Сигнал на выходе системы с передаточной функцией будет

При установившийся процесс в системе будет следующим:

Как следует из (48),

или

Отсюда

(5.50)

Таким образом, при одном и том же виде функции у минимально-фазовой системы сдвиг фазы меньше, чем у любой неминимально-фазовой системы.

Неминимально-фазовые системы с нулями на мнимой оси применяются, например, для того, чтобы обратить в нуль, когда требуется, чтобы система не пропускала сигналов на частоте со . К неминимально-фазовым системам относятся также астатические звенья, то есть звенья, у которых передаточная функция имеет полюс в начале координат.

При некоторых видах амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы, когда ликвидация охвата ею точки возможна поворотом частотной характеристики по направлению стрелки часов, в разомкнутую систему (с целью стабилизации замкнутой системы) последовательно включается неминимально-фазовое звено.

При синтезе электрических цепей неминимально-фазовые звенья применяются как фазо-корректирующие звенья. Имеются и другие применения неминимально-фазовых систем.