12. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи функций от матриц.

Найдем решение системы линейных дифференциальных уравнений

(10.118)

при начальных условиях

(10.119)

Здесь - некоторые постоянные (вообще комплексные) величины.

Введем матрицы

(10.120)

Так как при дифференцировании (интегрировании) матриц дифференцируется (интегрируется) каждый элемент матрицы, то систему скалярных дифференциальных уравнений (118) можно заменить векторным дифференциальным уравнением

(10.121)

Начальные условия (119) можно записать так:

(10.122)

Искомый вектор представим в виде ряда Маклорена по степеням :

(10.123)

Дифференцируя левую и правую части уравнения (121), найдем

(10.124)

Соотношения (121) и (124) имеют место для любого значения аргумента t. При они принимают вид

(10.125)

Ряд (123), таким образом, принимает вид

(10.126)

то есть согласно (101)

(10.127)

Так как

(10.128)

то непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение (121) убеждаемся, что выражение (127) является решением этого уравнения, удовлетворяющим начальным условиям (122).

Так как из (127) следует, что

а согласно (116)

то можно преобразовать выражение (127) к виду

(10.129)

Выражение (129) представляет собой решение векторного дифференциального уравнения (121), удовлетворяющее начальным условиям

(10.130)

Обратимся теперь к выражению (71). Полагая

(10.131)

будем иметь

(10.132)

В соответствии с (71), (131) и (132) функция может быть записана так:

(10.133)

и решение (127) может быть приведено к форме, содержащей компоненты матрицы А.

Учитывая соотношение (133), нетрудно убедиться, что полученное применением функций от матриц решение системы дифференциальных уравнений (118) совпадает (как это и должно быть) с полученным в § 4 решением (4.124). (В § 4 рассмотрена система более общего вида.) Это соответствие в какой-то мере мотивирует принятое в теории матриц определение (45) функции от матрицы.

Рассмотрим теперь систему неоднородных линейных уравнений

(10.134)

Систему скалярных дифференциальных уравнений (134) можно заменить векторным дифференциальным уравнением

(10.135)

где через обозначен вектор

Решение уравнения (135), удовлетворяющее начальным условиям (130) будем искать в виде

(10.136)

где

(10.137)

Элементы вектора подлежат определению.

Подставляя выражение (136) в уравнение (135), получим

или

(10.138)

Отсюда

(10.139)

где С — вектор из произвольных постоянных

(10.140)

Выражение (136) принимает теперь вид

(10.141)

Из выражения (141) следует, что

откуда, учитывая начальные условия (130), получим

(10.142)

Подставляя в (141) найденное значение С, найдем

(10.143)

Это и есть решение векторного дифференциального уравнения (135) при начальных условиях (130).