8. Условие управляемости линейной стационарной системы в задаче с подвижными концами.

Рассмотрим систему, описываемую векторными уравнениями

где

Элементы матриц А, G и С предполагаются постоянными. Ранг минимального полинома матрицы А равен .

Через обозначены фазовые координаты системы, приложенные к системе управляющие силы (управления).

Через обозначены определяемые согласно (115) линейные комбинации фазовых координат . Целью управления является приведение вектора к моменту времени в заданное состояние

(11.117)

В соответствии с (115) векторное уравнение (117) эквивалентно следующей системе скалярных уравнений:

(11.118)

Условия (118) означают, что изображающая точка должна быть приведена в момент времени на -мерную плоскость -мерного пространства , определяемую соотношениями

(11.119)

Условия, при которых такое приведение является возможным, получили название [36] управляемости по .

Теорема. Для того чтобы система (115) была вполне управляемой по , необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

(11.120)

был равен .

Доказательство теоремы. Так как согласно (115)

(11.121)

то соотношение (117) принимает вид

(11.122)

Обозначая через вектор

(11.123)

можно переписать соотношение (122) так:

(11.124)

Согласно (10.58)

(11.125)

и поэтому

(11.126)

Соотношение (124) можно теперь переписать так:

(11.127)

Далее будем считать, что число управлений выбрано так, что выполняется условие

(11.128)

Матрица Р, которая определена соотношением (120), является прямоугольной матрицей типа :

(11.129)

Через обозначим вектор, элементы которого имеют следующий вид:

(11.130)

Векторное уравнение (127), таким образом, принимает следующий вид:

(11.131)

Векторному уравнению (131) соответствует система из скалярных уравнений относительно q (где ) неизвестных

(11.132)

Если обозначить через векторы

(11.133)

то систему уравнений (132) можно представить так:

(11.134)

Таким образом, вектор

является линейной комбинацией векторов , где . Так как вектор может быть любым, то из условия разрешимости уравнения (134) относительно , следует, что для того чтобы система (115) была вполне управляемой по необходимо и достаточно, чтобы среди векторов имелось линейно независимых векторов, то есть чтобы ранг матрицы Р был равен . Теорема доказана.

Система значений , удовлетворяющая уравнениям (132), в случае, когда будет не единственной. Определив значения , надо из соотношений (130) найти закон управления . Эта задача также допускает не единственное решение.

Покажем в качестве примера, что одним из возможных управлений, обеспечивающих выполнение условия (117)

является управление

(11.135)

где через обозначена квадратная матрица типа :

(11.136)

Действительно, при имеем

(11.137)

В соответствии с (115), (121) и (137) будет

то есть соотношение (117) удовлетворяется.

Выше (135) предполагалось, что матрица . В п. 9 будет показано, что если система (115) вполне управляема по y, что является положительно-определенной матрицей, и, следовательно, обратная матрица существует.