6. О возможности при доказательстве теоремы ограничиться случаем q>0.

Обратимся к системе уравнений (1). Преобразуем эту систему, полагая, что

(6.41)

Так как согласно (1) , то соотношение (41) можно переписать так:

(6.42)

Функции удовлетворяют условию (6) то есть графики функций лежат (рис. 6.1) в угле . Из соотношений (42) и (6) следует, что и функции удовлетворяют условию

то есть графики функций также расположены в угле . Таким образом, если исходная система (1) абсолютно устойчива в угле , то и преобразованная при помощи соотношения (41) система также будет абсолютно устойчивой в угле .

Согласно (13)

Подставляя вместо у его значение (41), получим

(6.43)

Отсюда найдем, что

(6.44)

где

(6.45)

Из соотношения (45) следует, что

(6.46)

Нетрудно проверить справедливость следующего тождества:

(6.47)

Действительно,

что и требовалось доказать.

Так как все полюсы функции расположены

мнимой оси, то при любом значении значение функции будет конечным. Поэтому если для рассматриваемой системы имеет место соотношение

(6.48)

то в соответствии с (47) будет иметь место также следующее соотношение:

(6.49)

где

(6.50)

Как указано выше, если исходная система абсолютно устойчива в угле , то будет устойчива и преобразованная система. Но для преобразованной системы условие теоремы . Попова выражается неравенством (49), в котором .

Из изложенного следует, что при доказательстве теоремы

В.М. Попова можно ограничиться лишь рассмотрением случая . Рассмотрение случая не может расширить класса охватываемых достаточным условием В.М. Попова систем, ибо при мы получаем ту же самую систему (устойчивость которой была уже установлена соотношением (36), где , но лишь преобразованную к новой переменной .