7. Лемма 1.

Пусть,

1) Непрерывная функция и ее производная ограничены при ;

2) непрерывная функция при любом ;

3) .

Требуется доказать, что при этих условиях

Доказательство. Пусть при

(6.51)

(6.52)

Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда из определения понятия предела следует, что существует такая неограниченно возрастающая последовательность чисел , что

(6.53)

При этом всегда можно считать, что при всех

(6.54)

ибо если для исходной последовательности это не выполняется, то, опуская часть членов последовательности, можно добиться выполнения этого неравенства.

Так как , то при любом будем иметь

(6.55)

Учитывая, что при любом , будем иметь

(6.56)

Но для всех значений t из отрезка

имеет место неравенство

(6.57)

Если выбрать достаточно малым, то будет положительным

(6.58)

Если обозначить

(6.59)

где в силу условия леммы , то будем иметь такую оценку:

(6.60)

Отсюда в силу неравенства (56) получим, что

(6.61)

что противоречит условию леммы. Полученное противоречие доказывает лемму.