3. Применение принципа максимума при отсутствии ограничений на управление.
При отсутствии ограничений на управление во многих случаях оказывается возможным получить в явном виде решение задачи о выборе управления, доставляющего минимум некоторому функционалу.
Рассмотрим систему, описываемую скалярным дифференциальным уравнением (см. § 16, п. 2),
(23.36)
где
(23.37)
начальное состояние которой
Требуется привести систему в момент времени 
в точку 
, выбирая управление 
, которое доставило бы минимум функционалу
(23.38)
где
(23.39)
В соответствии с (17.10) образуем функцию
(23.40)
и составим уравнения
(23.41)
Согласно (40) уравнения (41) принимают вид
(23.42)
(23.43)
Найдем теперь управление u (на которое заранее никаких ограничений не наложено), доставляющее максимум функции 
. Так как
(23.44)
то при условии
(23.45)
функция 
будет иметь максимум по u при
(23.46)
Из первого уравнения (43) следует, что
(23.47)
Подставляя во второе уравнение (42) оптимальное значение управления и, которое определено выражением (46), получим
(23.48)
Дифференцируя по t левую и правую части уравнения (48) и учитывая при этом, что 
, получим
(23.49)
В соответствии со вторым уравнением (43) уравнение (49) принимает вид
(23.50)
где
(23.51)
Мы пришли, таким образом, к краевой задаче: требуется найти решение дифференциального уравнения (50), удовлетворяющее условиям
(23.52)
Интересующее нас решение будет следующим:
(23.53)
Решение (53) существует при условии
(23.54)
которое мы будем предполагать выполненным.
Из второго уравнения (42) следует, что
(23.55)
откуда в соответствии с (53) получим
(23.55)
Из сравнения выражения (46), полученного из принципа максимума Л. С. Понтрягина, со вторым уравнением (42) следует, что в рассматриваемой задаче
откуда
(23.57)
Заметим, что у механической системы, функция Лагранжа которой имеет вид
(23.58)
канонический импульс 
будет
(23.59)
Отсюда следует, что для управляемой системы, описываемой уравнением (36),
(23.60)
(23.61)
где 
— канонический импульс механической системы (58).
Соотношения (60) и (61) имеют место потому, что здесь, как и в § 16, п. 2, функционал (38) выбран так, что для механической системы (58) он принимает вид
(23.62)
что представляет собой действие по Гамильтону, которое в силу принципа Гамильтона принимает стационарное значение на действительных движениях механической системы.
При подстановке в (40) вместо 
и 
выражений (60) и (61) функция 
принимает вид
то есть функция 
в рассматриваемом здесь примере представляет собой произведение функции Гамильтона механической системы (58) на постоянный множитель 
.
