Главная > Автоматическое управление
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Применение принципа максимума при отсутствии ограничений на управление.

При отсутствии ограничений на управление во многих случаях оказывается возможным получить в явном виде решение задачи о выборе управления, доставляющего минимум некоторому функционалу.

Рассмотрим систему, описываемую скалярным дифференциальным уравнением (см. § 16, п. 2),

(23.36)

где

(23.37)

начальное состояние которой

Требуется привести систему в момент времени в точку , выбирая управление , которое доставило бы минимум функционалу

(23.38)

где

(23.39)

В соответствии с (17.10) образуем функцию

(23.40)

и составим уравнения

(23.41)

Согласно (40) уравнения (41) принимают вид

(23.42)

(23.43)

Найдем теперь управление u (на которое заранее никаких ограничений не наложено), доставляющее максимум функции . Так как

(23.44)

то при условии

(23.45)

функция будет иметь максимум по u при

(23.46)

Из первого уравнения (43) следует, что

(23.47)

Подставляя во второе уравнение (42) оптимальное значение управления и, которое определено выражением (46), получим

(23.48)

Дифференцируя по t левую и правую части уравнения (48) и учитывая при этом, что , получим

(23.49)

В соответствии со вторым уравнением (43) уравнение (49) принимает вид

(23.50)

где

(23.51)

Мы пришли, таким образом, к краевой задаче: требуется найти решение дифференциального уравнения (50), удовлетворяющее условиям

(23.52)

Интересующее нас решение будет следующим:

(23.53)

Решение (53) существует при условии

(23.54)

которое мы будем предполагать выполненным.

Из второго уравнения (42) следует, что

(23.55)

откуда в соответствии с (53) получим

(23.55)

Из сравнения выражения (46), полученного из принципа максимума Л. С. Понтрягина, со вторым уравнением (42) следует, что в рассматриваемой задаче

откуда

(23.57)

Заметим, что у механической системы, функция Лагранжа которой имеет вид

(23.58)

канонический импульс будет

(23.59)

Отсюда следует, что для управляемой системы, описываемой уравнением (36),

(23.60)

(23.61)

где — канонический импульс механической системы (58).

Соотношения (60) и (61) имеют место потому, что здесь, как и в § 16, п. 2, функционал (38) выбран так, что для механической системы (58) он принимает вид

(23.62)

что представляет собой действие по Гамильтону, которое в силу принципа Гамильтона принимает стационарное значение на действительных движениях механической системы.

При подстановке в (40) вместо и выражений (60) и (61) функция принимает вид

то есть функция в рассматриваемом здесь примере представляет собой произведение функции Гамильтона механической системы (58) на постоянный множитель .

1
Оглавление
email@scask.ru