§ 8. Качественные методы исследования движения нелинейных систем

1. Нелинейные системы с одной степенью свободы.

Качественные методы исследования движения нелинейных систем опираются на результаты восходящей к трудам А. Пуанкаре [75] качественной теории дифференциальных уравнений [68]. Эти методы получили широкое применение в теории нелинейных колебаний в трудах Л. И. Мандельштама, А. А. Андронова, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Б. В. Булгакова, 10. А. Митропольского и других ученых [4, 17, 47, 64]. Особенно эффективны качественные методы при изучении движения нелинейных систем с одной степенью свободы; многие из этих методов могут быть успешно применены и для изучения нелинейных систем со многими степенями свободы. Ниже ограничимся лишь рассмотрением систем с одной степенью свободы.

Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы, у которой связи склерономны (то есть не зависят явно от времени) и определение обобщенной координаты q также склерономно, может быть представлена так:

Функция называется приведенной массой системы. Потенциальная энергия системы . Функция Лагранжа для рассматриваемой системы будет

Уравнение движения системы будет иметь следующий вид:

или

где через обозначена добавочная, неконсервативная сила, приложенная к системе.

В некоторых задачах более удобным является применение канонических переменных. Таковыми для системы с одной степенью свободы будут обобщенная координата и канонический (или обобщенный) импульс , определяемый формулой

Для систем со склерономными связями функция Гамильтона имеет вид

Так как согласно (1) и (2)

то функция Н может быть представлена в виде

Канонические уравнения движения системы с одной степенью свободы будут

где - преобразованная к каноническим переменным добавочная неконсервативная сила.

В соответствии с (7) канонические уравнения движения (8) принимают вид

Движение системы со склерономными связями в случае, когда добавочная неконсервативная сила Q не зависит явно от времени, носит название собственных колебаний системы. В этом случае канонические уравнения (9) принимают вид

Мгновенные значения и определяют собой положение и скорость системы с одной степенью свободы или ее состояние (фазу). Можно трактовать и как декартовы координаты некоторой точки (изображающей точки) на плоскости Эта плоскость называется фазовой плоскостью; и - фазовые координаты изображающей точки на фазовой плоскости.

При этом будут представлять собой компоненты скорости изображающей точки. Эта скорость называется фазовой скоростью.

Всякое решение уравнения (10)

определяет собой на плоскости некоторую траекторию, по которой движется изображающая точка. Эта траектория называется фазовой траекторией. (Не следует смешивать фазовую траекторию и фазовую скорость с траекториями и скоростями реальных точек рассматриваемой материальной системы.) Дифференциальное уравнение, определяющее фазовые траектории, можно получить в явном виде, исключая переменную t из канонических уравнений (10). Это уравнение будет следующим:

Интегрируя уравнение (11), найдем зависящее от параметра С уравнение семейства интегральных кривых

Если дифференциальное уравнение (11) проинтегрировано, то время движения изображающей точки по фазовой траектории определяется квадратурой. Действительно, из первого уравнения (10) и уравнения (12) следует, что

откуда

где — произвольная постоянная. Для определения произвольных постоянных С и надо задать начальные условия, то есть задать значения и в начальный момент времени . Этим определится закон движения системы.

Если при изменении времени t от до изображающая точка пробегает всю интегральную кривую (12), соответствующую некоторому фиксированному значению параметра С, то эта интегральная кривая является фазовой траекторией. Возможны, однако, случаи (описанные ниже), когда интегральная кривая состоит из нескольких фазовых траекторий, то есть при изменении t от до изображающая точка пробегает лишь одну ветвь интегральной кривой (12).

Точки фазовой плоскости, в которых одновременно обращаются в нуль обе составляющие фазовой скорости и называются особыми точками. В этих точках уравнение (11) не определяет наклона фазовой траектории к оси. абсцисс, так как в точках согласно (11) имеем .

Значения фазовых координат особых точек определяются из следующих конечных уравнений:

Поскольку функция может принимать только положительные конечные значения (функция представляет собой приведенную массу системы), то из первого уравнения (15) следует, что

то есть особые точки расположены на оси абсцисс фазовой плоскости. Из второго уравнения (15) и соотношения (16) , что абсциссы особых точек являются корнями уравнения

Состояние системы

является частным решением канонических уравнений движения (10) системы. Это частное решение представляет собой положение равновесия рассматриваемой системы. Таким образом, особые точки определяют собой положения равновесия системы.

За исключением особых точек, в любой точке фазовой плоскости фазовая скорость отлична от нуля, то есть изображающая точка движется по фазовой траектории без остановки. В точках пересечения фазовой траектории с осью абсцисс (не особых) имеем, как следует из (11),

Таким образом, фазовая траектория пересекает ось абсцисс в регулярной (то есть не особой) точке под прямым углом и располагается по одну сторону от вертикальной касательной.

Так как , то на фазовой плоскости в верхней полуплоскости , и движение по фазовой траектории происходит в сторону возрастающих значений q. В нижней полуплоскости , и движение по фазовой траектории происходит в сторону убывающих значении .