6. Управляемость линейных нестационарных систем.
Рассмотрим линейную нестационарную систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением
(11.75)
где
(11.76)
Элементы матриц 
и 
являются непрерывными, действительными функциями времени.
Система (75) называется вполне управляемой в момент времени 
если из любого состояния, которое она занимает в момент времени 
, ее можно перевести в нулевое состояние за конечный промежуток времени, выбирая надлежащим образом закон изменения управляющих сил 
.
Так как свойства нестационарной системы изменяются с течением времени, то возможны системы, которые управляемы (в смысле приведенного выше определения) в момент времени Т и неуправляемы в любой последующий момент времени. Из самого определения управляемости следует, однако, что если система управляема в момент T, то она управляема в любой момент 
(поскольку она будет управляемой, оказавшись в любом состоянии в момент времени Т).
Теорема. Пусть 
, где 
фундаментальная матрица решений системы, описываемой однородным векторным дифференциальным уравнением
а через 
обозначена матрица
(11.78)
Нестационарная линейная система (75) управляема в момент времени 
если и только если для некоторого конечного 
матрица 
, определяемая выражением (78), является положительно-определенной матрицей 
.
Доказательство теоремы.
. По предположению матрица 
является симметрической, положительно-определенной матрицей. Следовательно, она является неособой матрицей, то есть 
.
Таким образом, обратная матрица 
существует, и можно выбрать вектор управляющих сил 
в следующем виде:
(11.79)
Так как согласно (7.26)
(11.80)
то в момент времени 
состояние системы будет
Подставляя в (81) выражение (79) для 
, получим
Как показано выше (7.24) и (7.25),
Поэтому, учитывая (78), будем иметь и
(11.83)
В соответствии с (82) и (83) состояние системы в момент времени 
будет следующим:
(11.84)
Таким образом, управление (79) действительно приводит систему (75) к моменту времени 
в нулевое состояние.
Заметим, что заданное выражением (79) управление 
которое, как здесь доказано, приводит систему (75) к моменту времени 
в нулевое состояние, не является единственным. Действительно, управление
где 
- любая 
-мерная вектор-функция, удовлетворяющая условию
так же, как это следует из (81), приводит систему (75) к моменту времени 
в нулевое состояние.
Аналогично управление
приводит систему к моменту времени 
в точку 
.
Покажем теперь, что если система (75) управляема, то матрица будет положительно-определейной матрицей.
Рассмотрим сначала квадратичную форму 
, где 
— 
-мерный вектор. Согласно (78) будем иметь
(11.85)
Так как для всякой прямоугольной матрицы а типа 
то
(11.86)
Таким образом, в соответствии с (86) и (85) для всех 
имеет место соотношение
(11.87)
Чтобы завершить доказательство, остается еще показать, что матрица W является неособой, и тогда соотношение (87) примет требуемый вид 
.
Предположим обратное: пусть 
является особой матрицей. Тогда существует такой вектор 
, что
(11.88)
Обозначим теперь через 
следующий вектор:
(11.89)
Как следует из (89), 
является непрерывной функцией от 
.
В соответствии с (89), (86), (78) и (88) будем иметь
(11.90)
откуда следует, что
(11.91)
Учтем теперь, что по сделанному здесь предположению рассматриваемая система управляема. Следовательно, существует некоторое управление 
, которое приводит систему из состояния 
(в момент времени 
) в нулевое состояние (в момент времени 
). Аналогично (81) будем поэтому иметь следующее соотношение:
(11.92)
Отсюда следует, что
или
(11.93)
Из (91) и (89) следует, что
(11.94)
Так как для всякой прямоугольной матрицы 
то из соотношения (94) следует, что
(11.95)
В соответствии с (93) соотношение (95) принимает вид
(11.96)
что противоречит исходному предположению о том, что 
.
Полученное противоречие возникло вследствие предположения (88) о том, что матрица 
особая. Таким образом, установлено, что матрица 
является неособой матрицей, т. е. ни для какого вектора 
соотношение (88) не может иметь места и, следовательно,
(11.97)
Из соотношений (87) и (97) вытекает, что
(11.98)
то есть если система (75) управляема, то матрица 
является положительно-определенной матрицей.
