4. Задача слежения [34].

Рассмотрим нестационарную линейную систему

(24.80)

где — -мерный вектор состояния системы, -мерный вектор управления, -мерный вектор, определяющий собой выход системы, — -матрица, - -матрица, — -матрица. Предполагается, что система (80) вполне наблюдаема, то есть определяемая выражением (70) -матрица является положительно определенной матрицей.

Через обозначим -мерный вектор, закон изменения которого во времени задается извне, представляющий собой желаемый выход системы. Вектор

(24.81)

является рассогласованием или ошибкой следящей системы.

В предположении, что на управление ограничения не наложены, требуется минимизировать функционал

(24.82)

где Т — некоторый заданный момент времени. Таким образом, целью управления является удержание рассогласования системы, то есть вектора , вблизи нуля. Матрицы F и являются неотрицательно-определенными -матрицами, а матрица -определенная -матрица.

Подставляя в (82) вместо выражение

(24.83)

преобразуем функционал (82) к следующему виду:

(24.84)

Оптимальное управление должно доставлять минимум функции , которая строится аналогично функции , определяемой выражением (5). Функция , соответствующая функционалу (84), имеет следующий вид:

(24.85)

Соотношения (8)—(11) сохраняют свой вид и для рассматриваемой здесь задачи и в соответствии с (11) управление , доставляющее минимум функции , будет следующим:

(24.86)

Подставляя выражение (86) для в первое уравнение (80), приведем это уравнение к виду

(24.87)

где

(24.88)

Так как

то вектор-функция будет удовлетворять дифференциальному уравнению

(24.89)

Обозначая

(24.90)

можно представить уравнение (89) в таком виде:

(24.91)

Уравнения (87) и (91) образуют систему векторных дифференциальных уравнений, которую можно записать так:

Решение системы дифференциальных уравнений (92), ранг которой равен , должно удовлетворять начальным значениям, определяемым векторным соотношением

(24.93)

Для вспомогательных переменных в соответствии с (68), (55) и (82) граничные условия определяются сотношением

Так как

то в соответствии с (94) будем иметь для вектор-функции следующее граничное условие:

(24.95)

Обозначим теперь через фундаментальную матрицу решений однородного векторного дифференциального уравнения, которое образуется из уравнения (92) при , Через обозначим следующую -матрицу

(24.96)

Решение уравнения (92) будет

(24.97)

Аналогично (97) при будем иметь

Представляя -матрицу в виде блочной матрицы, элементы которой являются -матрицами:

можно привести (98) к виду

(24.100)

где

(24.101)

Из (100) следует, что

(24.102)

(24.103)

Подставляя в (103) вместо выражение (95), получим следующее соотношение:

(24.104)

Так как

то при соотношение (104) принимает вид (95)

Из соотношения (104) следует, что вектор-функция может быть представлена в виде

(24.105)

причем в соответствии с (95)

(24.106)

(24.107)

Найдем теперь дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют матрица и вектор . Из (105) следует, что

(24.108)

Уравнение (108) в соответствии с (87) и (105) можно привести к следующему виду:

(24.109)

Исключая из уравнений (109) и (91) и заменяя выражением (105), йайдем следующее соотношение:

(24.110)

Так как соотношение (110) имеет место при любых и t, то должны выполняться условия

(24.111)

(24.112)

то есть и должны быть решениями дифференциальных уравнений (111) и (112).

Заменяя и выражениями (88) и (90), найдем, что матрица есть решение дифференциального уравнения Риккати

(24.113)

удовлетворяющее граничному условию (106)

Вектор-функция есть решение дифференциального уравнения

(24.114)

удовлетворяющее граничному условию (107)

Дифференциальное уравнение, описывающее закон движения оптимальной системы, в соответствии с (87), (88) и (105) будет иметь следующий вид:

(24.115)

Оптимальное управление согласно (86) и (105) будет следующим:

(24.116)

Заметим, что дифференциальное уравнение (113) не содержит членов, зависящих от входного сигнала . Таким образом, матрица не будет зависеть от входного сигнала .

Для определения согласно (116) оптимального , а также для интегрирования дифференциального уравнения (115) должна быть известна функция , что требует интегрирования дифференциального уравнения (114). Обозначим через фундаментальную матрицу решений однородного уравнения, которое образуется из уравнения (114) при . Через обозначим матрицу

(24.117)

При этом решение векторного уравнения (114) будет иметь вид

Так как

то из (118) найдем

или в соответствии с (107)

Из выражения (119) видно, что определение текущего значения возможно лишь, если известно, каким будет входной сигнал на будущем отрезке времени . Следовательно, для возможности определения на отрезке времени должен быть уже в момент времени известен входной сигнал на всем будущем отрезке времени . Необходимость предварительных сведений о течении входного сигнала обусловлена видом (82) функционала , который в данной задаче требуется минимизировать.