3. Линейные неавтономные системы. Приведение задачи о быстродействии к краевой задаче.
Предварительно введем некоторые обозначения. Рассмотрим две системы, описываемые векторными дифференциальными уравнениями
(18.62)
(18.63)
где матрица 
является транспонированной матрицей для матрицы 
. Через 
обозначим фундаментальную матрицу решений 
(62), а через 
обозначим матрицу
(18.64)
Решение задачи Коши для векторного дифференциального уравнения (62) будет иметь следующий вид:
(18.65)
Решение задачи Коши для векторного уравнения (63) запишем так:
(18.66)
Здесь 
- квадратная матрица, удовлетворяющая условию
(18.67)
где Е — единичная матрица.
Как показано выше (53), матрицы 
и 
удовлетворяют условию
(18.68)
Обратимся теперь к управляемой системе, описываемой линейным векторным уравнением
(18.69)
где 
— следующие матрицы:
(18.70)
Векторное уравнение (69) эквивалентно следующей системе скалярных уравнений:
(18.71)
На управления 
наложены ограничения
(18.72)
Рассматриваемую систему требуется перевести из точки 
в которой система находится в момент времени 
, в точку 
за наименьшее возможное время.
Через 
обозначим 
-мерный вектор
(18.73)
и согласно (15) введем функцию
(18.74)
Согласно (13) функции 
удовлетворяют диффереациальным уравнениям
(18.75)
которые эквивалентны векторному дифференциальному уравнению
(18.76)
В соответствии с теоремой о принципе максимума оптимальное управление будет иметь следующий вид:
(18.77)
Соотношения (77) можно переписать так:
(18.78)
где через 
обозначен 
-мерный вектор, являющийся произведением следующих матриц:
(18.79)
Обозначим теперь через 
следующую матрицу:
(18.80)
Так как в соответствии с (66) и (63) решение векторного уравнения (76) имеет вид
(18.81)
то выражение (79) можно, учитывая (68), переписать так:
(18.82)
Согласно (82) элементы вектора 
будут
(18.83)
Таким образом, в соответствии с (78) и (83) оптимальное управление имеет следующий вид:
(18.84)
Запишем теперь решение задачи Коши для векторного уравнения (69)
(18.85)
Через 
обозначим момент времени, когда система (69) будет приведена в начало координат
(18.86)
В соответствии с (85), (80) и (86) получим
(18.87)
Поскольку матрица 
является неособой матрицей, то из (87) следует соотношение
(18.88)
Векторному соотношению (88) эквивалентны следующие скалярные соотношения:
(18.89)
Подставляя вместо 
оптимальное управление (84), приведем соотношения (89) к виду
(18.90)
В соотношениях (90) неизвестными являются величины 
, а также значение 
момента времени, в который система будет приведена в начало координат.
Уравнения (90) являются исходными в некоторых численных методах определения оптимального управления.
