Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9. Нелинейные системы под воздействием периодических внешних сил1. Вынужденные колебания нелинейной системы.Рассмотрим нелинейную систему с одной степенью свободы, у которой приведенная масса
В этом случае, канонические уравнения движения (8.9) принимают вид
Пусть
где
Систему дифференциальных уравнений (2) можно заменить следующим уравнением второго порядка:
Обозначим теперь
Так как промежуток времени t, равный одному периоду
Ряд (7) можно переписать так:
где
а угол
Далее будем считать, что функция
и, следовательно,
Рассмотрим предварительно один частный случай. Пусть
При этом уравнение (5) принимает вид
Частное решение уравнения (14), соответствующее его правой части, будет следующим:
Так как согласно (2)
Здесь В общем случае согласно (2) и (3) уравнения движения будут
и выражения
в которых Будем поэтому рассматривать для общего случая выражения (18) как формулы замены переменных, принимая в качестве новых переменных
Таким образом, вид частного решения (15), (16) линейного уравнения (14) здесь используется лишь как указание для выбора формул замены переменных. Подставим теперь в уравнения (17) вместо
где
Заметим, что так как согласно (10)
Таким образом, уравнения (17) преобразуются к виду
Чтобы получить уравнения, разрешенные относительно Таким образом, придем к следующим уравнениям:
Уравнения (24) являются точными уравнениями. При преобразовании исходных уравнений к новым переменным никаких упрощений не делалось. Интегрирование уравнений (24) поэтому не легче выполнить, чем интегрирование исходных уравнений. В общем случае уравнения (24) проинтегрировать не удается. В связи с этим возникает необходимость применения приближенных методов. Если ограничиться функциями Правые части уравнений (24) являются периодическими функциями по аргументу Для иллюстрации этого утверждения приведем следующий пример. Решение дифференциального уравнения
будет
Если
Так как при
Быстроосциллирующая функция Учитывая указанное выше обстоятельство, в качестве уравнений первого приближения, примем уравнения, которые получаются при замене в уравнениях (24) правых частей их средними значениями по Таким образом, уравнения первого приближения будут
При вычислении интегралов в правых частях уравнений (25) будем считать
то уравнения (25) можно переписать так:
Заметим сейчас, что
Аналогично
Подставляя выражения (28) и (29) в уравнения (27), получим
Обозначим теперь
При этом уравнения (30) примут вид
Как уже сказано выше, уравнения (32) являются уравнениями первого приближения. Они называются укороченными уравнениями. Метод, при помощи которого они получены, называется методом осреднения. Построение высших приближений и определение условий сходимости процесса приближений для систем с Развитию и обоснованию асимптотических методов в теории нелинейных колебаний, к которым относится и метод осреднения, посвящены работы Б. Ван-дер-Поля, Л. И. Мандельштама, А. А. Андронова, И. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и др. [4, 12, 47, 64].
|
1 |
Оглавление
|