Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9. Нелинейные системы под воздействием периодических внешних сил1. Вынужденные колебания нелинейной системы.Рассмотрим нелинейную систему с одной степенью свободы, у которой приведенная масса
В этом случае, канонические уравнения движения (8.9) принимают вид
Пусть
где
Систему дифференциальных уравнений (2) можно заменить следующим уравнением второго порядка:
Обозначим теперь
Так как промежуток времени t, равный одному периоду
Ряд (7) можно переписать так:
где
а угол
Далее будем считать, что функция
и, следовательно,
Рассмотрим предварительно один частный случай. Пусть
При этом уравнение (5) принимает вид
Частное решение уравнения (14), соответствующее его правой части, будет следующим:
Так как согласно (2)
Здесь В общем случае согласно (2) и (3) уравнения движения будут
и выражения
в которых Будем поэтому рассматривать для общего случая выражения (18) как формулы замены переменных, принимая в качестве новых переменных
Таким образом, вид частного решения (15), (16) линейного уравнения (14) здесь используется лишь как указание для выбора формул замены переменных. Подставим теперь в уравнения (17) вместо
где
Заметим, что так как согласно (10)
Таким образом, уравнения (17) преобразуются к виду
Чтобы получить уравнения, разрешенные относительно Таким образом, придем к следующим уравнениям:
Уравнения (24) являются точными уравнениями. При преобразовании исходных уравнений к новым переменным никаких упрощений не делалось. Интегрирование уравнений (24) поэтому не легче выполнить, чем интегрирование исходных уравнений. В общем случае уравнения (24) проинтегрировать не удается. В связи с этим возникает необходимость применения приближенных методов. Если ограничиться функциями Правые части уравнений (24) являются периодическими функциями по аргументу Для иллюстрации этого утверждения приведем следующий пример. Решение дифференциального уравнения
будет
Если
Так как при
Быстроосциллирующая функция Учитывая указанное выше обстоятельство, в качестве уравнений первого приближения, примем уравнения, которые получаются при замене в уравнениях (24) правых частей их средними значениями по Таким образом, уравнения первого приближения будут
При вычислении интегралов в правых частях уравнений (25) будем считать
то уравнения (25) можно переписать так:
Заметим сейчас, что
Аналогично
Подставляя выражения (28) и (29) в уравнения (27), получим
Обозначим теперь
При этом уравнения (30) примут вид
Как уже сказано выше, уравнения (32) являются уравнениями первого приближения. Они называются укороченными уравнениями. Метод, при помощи которого они получены, называется методом осреднения. Построение высших приближений и определение условий сходимости процесса приближений для систем с Развитию и обоснованию асимптотических методов в теории нелинейных колебаний, к которым относится и метод осреднения, посвящены работы Б. Ван-дер-Поля, Л. И. Мандельштама, А. А. Андронова, И. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и др. [4, 12, 47, 64].
|
1 |
Оглавление
|