§ 9. Нелинейные системы под воздействием периодических внешних сил

1. Вынужденные колебания нелинейной системы.

Рассмотрим нелинейную систему с одной степенью свободы, у которой приведенная масса

(9.1)

В этом случае, канонические уравнения движения (8.9) принимают вид

Пусть

где - периодическая функция, период которой

Систему дифференциальных уравнений (2) можно заменить следующим уравнением второго порядка:

Обозначим теперь

Так как промежуток времени t, равный одному периоду составляет , а согласно (6) , то по новому аргументу период функции будет равен . Как известно, при выполнении некоторых условий (например, условий; Дирихле) функция разлагается в ряд Фурье

Ряд (7) можно переписать так:

где

а угол определяется соотношениями

Далее будем считать, что функция симметрична, то есть

и, следовательно,

Рассмотрим предварительно один частный случай. Пусть

При этом уравнение (5) принимает вид

Частное решение уравнения (14), соответствующее его правой части, будет следующим:

Так как согласно (2) , то в данном случае

Здесь — амплитуда вынужденных колебаний, а — сдвиг фазы вынужденных колебаний относительно фазы внешней силы . Так как уравнение (14) является линейным, то в выражениях и (16) , .

В общем случае согласно (2) и (3) уравнения движения будут

и выражения

в которых , , не будут удовлетворять уравнениям (17).

Будем поэтому рассматривать для общего случая выражения (18) как формулы замены переменных, принимая в качестве новых переменных и , то есть полагая в формулах (18)

Таким образом, вид частного решения (15), (16) линейного уравнения (14) здесь используется лишь как указание для выбора формул замены переменных.

Подставим теперь в уравнения (17) вместо и выражения (18), которые запишем так:

где

Заметим, что так как согласно (10) , то

Таким образом, уравнения (17) преобразуются к виду

Чтобы получить уравнения, разрешенные относительно и , умножим первое уравнение (23) на , а второе на и сложим соответственно левые и правые части вновь полученных уравнений. При этом получим уравнение, не содержащее . Умножая первое уравнение (23) на и, а второе уравнение (23) на и складывая полученные уравнения, найдем уравнение, не содержащее .

Таким образом, придем к следующим уравнениям:

Уравнения (24) являются точными уравнениями. При преобразовании исходных уравнений к новым переменным никаких упрощений не делалось.

Интегрирование уравнений (24) поэтому не легче выполнить, чем интегрирование исходных уравнений. В общем случае уравнения (24) проинтегрировать не удается. В связи с этим возникает необходимость применения приближенных методов.

Если ограничиться функциями , мало отличающимися от линейных функций, то можно аппроксимировать систему уравнений (24) более простыми уравнениями, основываясь на том, что если входящие в уравнения (24) функции близки к линейным, то искомые функции и будут медленно изменяться во времени. Это свойство указанных здесь систем, называемых псевдолинейными системами, имеет место в силу непрерывной зависимости решения от параметра, ибо если функции являются линейными, то и .

Правые части уравнений (24) являются периодическими функциями по аргументу , и их можно разложить в ряды Фурье. Поскольку у псевдолинейных систем и — медленно изменяющиеся функции времени, то на решения уравнений (24) основное влияние окажут свободные члены рядов Фурье; влияние осциллирующих членов, то есть членов, содержащих первую и высшие гармоники, будет достаточно малым.

Для иллюстрации этого утверждения приведем следующий пример. Решение дифференциального уравнения

будет

Если , то

Так как при имеет место неравенство , то главная часть решения будет

Быстроосциллирующая функция оказывает сравнительно малое влияние на решение рассматриваемого здесь уравнения.

Учитывая указанное выше обстоятельство, в качестве уравнений первого приближения, примем уравнения, которые получаются при замене в уравнениях (24) правых частей их средними значениями по , то есть свободными членами их разложений в ряды Фурье.

Таким образом, уравнения первого приближения будут

При вычислении интегралов в правых частях уравнений (25) будем считать и постоянными, то есть пренебрежем изменением этих функций за один период колебаний. Вносимая этим погрешность будет иметь уже более высокий порядок малости.

(9.26)

то уравнения (25) можно переписать так:

Заметим сейчас, что

Аналогично

Подставляя выражения (28) и (29) в уравнения (27), получим

Обозначим теперь

При этом уравнения (30) примут вид

Как уже сказано выше, уравнения (32) являются уравнениями первого приближения. Они называются укороченными уравнениями.

Метод, при помощи которого они получены, называется методом осреднения.

Построение высших приближений и определение условий сходимости процесса приближений для систем с степенями свободы даны Б. В. Булгаковым в монографии [17], которой автор следует в изложении рассматриваемых в 8 и 9 вопросов.

Развитию и обоснованию асимптотических методов в теории нелинейных колебаний, к которым относится и метод осреднения, посвящены работы Б. Ван-дер-Поля, Л. И. Мандельштама, А. А. Андронова, И. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и др. [4, 12, 47, 64].