Главная > Автоматическое управление
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 9. Нелинейные системы под воздействием периодических внешних сил

1. Вынужденные колебания нелинейной системы.

Рассмотрим нелинейную систему с одной степенью свободы, у которой приведенная масса

(9.1)

В этом случае, канонические уравнения движения (8.9) принимают вид

Пусть

где - периодическая функция, период которой

Систему дифференциальных уравнений (2) можно заменить следующим уравнением второго порядка:

Обозначим теперь

Так как промежуток времени t, равный одному периоду составляет , а согласно (6) , то по новому аргументу период функции будет равен . Как известно, при выполнении некоторых условий (например, условий; Дирихле) функция разлагается в ряд Фурье

Ряд (7) можно переписать так:

где

а угол определяется соотношениями

Далее будем считать, что функция симметрична, то есть

и, следовательно,

Рассмотрим предварительно один частный случай. Пусть

При этом уравнение (5) принимает вид

Частное решение уравнения (14), соответствующее его правой части, будет следующим:

Так как согласно (2) , то в данном случае

Здесь — амплитуда вынужденных колебаний, а — сдвиг фазы вынужденных колебаний относительно фазы внешней силы . Так как уравнение (14) является линейным, то в выражениях и (16) , .

В общем случае согласно (2) и (3) уравнения движения будут

и выражения

в которых , , не будут удовлетворять уравнениям (17).

Будем поэтому рассматривать для общего случая выражения (18) как формулы замены переменных, принимая в качестве новых переменных и , то есть полагая в формулах (18)

Таким образом, вид частного решения (15), (16) линейного уравнения (14) здесь используется лишь как указание для выбора формул замены переменных.

Подставим теперь в уравнения (17) вместо и выражения (18), которые запишем так:

где

Заметим, что так как согласно (10) , то

Таким образом, уравнения (17) преобразуются к виду

Чтобы получить уравнения, разрешенные относительно и , умножим первое уравнение (23) на , а второе на и сложим соответственно левые и правые части вновь полученных уравнений. При этом получим уравнение, не содержащее . Умножая первое уравнение (23) на и, а второе уравнение (23) на и складывая полученные уравнения, найдем уравнение, не содержащее .

Таким образом, придем к следующим уравнениям:

Уравнения (24) являются точными уравнениями. При преобразовании исходных уравнений к новым переменным никаких упрощений не делалось.

Интегрирование уравнений (24) поэтому не легче выполнить, чем интегрирование исходных уравнений. В общем случае уравнения (24) проинтегрировать не удается. В связи с этим возникает необходимость применения приближенных методов.

Если ограничиться функциями , мало отличающимися от линейных функций, то можно аппроксимировать систему уравнений (24) более простыми уравнениями, основываясь на том, что если входящие в уравнения (24) функции близки к линейным, то искомые функции и будут медленно изменяться во времени. Это свойство указанных здесь систем, называемых псевдолинейными системами, имеет место в силу непрерывной зависимости решения от параметра, ибо если функции являются линейными, то и .

Правые части уравнений (24) являются периодическими функциями по аргументу , и их можно разложить в ряды Фурье. Поскольку у псевдолинейных систем и — медленно изменяющиеся функции времени, то на решения уравнений (24) основное влияние окажут свободные члены рядов Фурье; влияние осциллирующих членов, то есть членов, содержащих первую и высшие гармоники, будет достаточно малым.

Для иллюстрации этого утверждения приведем следующий пример. Решение дифференциального уравнения

будет

Если , то

Так как при имеет место неравенство , то главная часть решения будет

Быстроосциллирующая функция оказывает сравнительно малое влияние на решение рассматриваемого здесь уравнения.

Учитывая указанное выше обстоятельство, в качестве уравнений первого приближения, примем уравнения, которые получаются при замене в уравнениях (24) правых частей их средними значениями по , то есть свободными членами их разложений в ряды Фурье.

Таким образом, уравнения первого приближения будут

При вычислении интегралов в правых частях уравнений (25) будем считать и постоянными, то есть пренебрежем изменением этих функций за один период колебаний. Вносимая этим погрешность будет иметь уже более высокий порядок малости.

(9.26)

то уравнения (25) можно переписать так:

Заметим сейчас, что

Аналогично

Подставляя выражения (28) и (29) в уравнения (27), получим

Обозначим теперь

При этом уравнения (30) примут вид

Как уже сказано выше, уравнения (32) являются уравнениями первого приближения. Они называются укороченными уравнениями.

Метод, при помощи которого они получены, называется методом осреднения.

Построение высших приближений и определение условий сходимости процесса приближений для систем с степенями свободы даны Б. В. Булгаковым в монографии [17], которой автор следует в изложении рассматриваемых в 8 и 9 вопросов.

Развитию и обоснованию асимптотических методов в теории нелинейных колебаний, к которым относится и метод осреднения, посвящены работы Б. Ван-дер-Поля, Л. И. Мандельштама, А. А. Андронова, И. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и др. [4, 12, 47, 64].

1
Оглавление
email@scask.ru