Главная > Автоматическое управление
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 15. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования для систем непрерывного действия. Теоремы В. Г. Болтянского

Метод динамического программирования вполне обоснован для систем, описываемых уравнениями в конечных разностях.

Для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (то есть для систем непрерывного действия) корректное обоснование метода динамического программирования требовало бы доказательства существования гладкой функции , определяемой нелинейным уравнением в частных производных (-уравнением Беллмана (то же относится и к функции определяемой уравнением , так как при выводе этого уравнения предполагалось, что функция непрерывна и всюду имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Это требование не вытекает из постановки задачи и представляет собой ограничение, которое, однако, не выполняется во многих даже простых задачах, где оказывается [15], что функция является негладкой.

Задача об обосновании метода динамического программирования для систем непрерывного действия решена в работа к В. Г. Болтянского [14], к изложению которых мы и перейдем.

1. Постановка задачи. Геометрическая интерпретация уравнения Беллмана в задаче о быстродействии.

Рассмотрим управляемую систему, описываемую скалярными дифференциальными уравнениями

(15.1)

В векторной форме систему уравнений (1) можно записать так:

(15.2)

где — векторы следующего вида:

(15.3)

На управление и наложены ограничения

(15.4)

Обратимся к задаче о быстродействии. Требуется найти оптимальное управление , то есть управление, которое переводит систему из начального состояния в состояние за минимально возможное время Т.

Конечное состояние системы , то есть точка в фазовом пространстве, в которую надо привести систему, фиксирована: . В качестве начального состояния мы рассматриваем любое состояние системы, то есть любую точку фазового пространства .

Минимально возможное время T, в течение которого управление и, удовлетворяющее условию и , переводит систему из точки в точку , является функцией от начального состояния :

В § 14, в предположении, что функция непрерывна и всюду (кроме конечной точки ) имеет непрерывные частные производные , было показано, что

эта функция удовлетворяет уравнению в частных производных (14.44)

Управление, доставляющее минимум выражению в квадратных скобках, является оптимальным и было обозначено через .

Ниже удобнее вместо рассматривать функцию , отличающуюся от нее знаком

Из соотношения (14.44) следует, что

Учитывая (5), можно переписать соотношение (6) так:

(15.7)

Функция определена во всем фазовом пространстве X. В силу предположений, при которых получено соотношение (14.44), следует, что соотношение (7) имеет место в предположении, что функция непрерывна и всюду (кроме конечной точки имеет непрерывные частные производные

представляет собой уравнение Беллмана в задаче о быстродействии.

Для любого управления из совокупности управлений, ограниченных условием (в том числе и оптимального), переводящих систему из точки в точку , будем в соответствии с (7) иметь такое соотношение:

Так как то соотношение

будет выполняться в течение всего времени движения для каждой оптимальной траектории, то есть всего времени перехода из начальной точки в конечную точку .

Уравнению Беллмана в задаче о быстродействии можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Так как согласно (1)

(15.10)

то уравнение Беллмана (14.44) можно переписать так:

(15.11)

то есть при движении по оптимальной траектории промежуток времени, оставшийся до достижения начала координат, убывает .

Согласно (11)

(15.12)

Выражение в квадратных скобках представляет собой скалярное произведение вектора градиента функции на вектор фазовой скорости изображающей точки.

Представим себе семейство поверхностей . Эти поверхности можно назвать изохронными поверхностями — наименьшее время попадания из любой точки поверхности в начало координат равно одной и той же величине С. Вектор направлен в точке по нормали к поверхности , проходящей через эту точку. Соотношение (12) показывает, что оптимальное управление и обеспечивает то, что проекция фазовой скорости на отрицательное направление нормали к поверхности , проходящей через точку в любой момент времени положительна, то есть изображающая точка все время перемещается в сторону убывающих значений .

Предположение о существовании непрерывных частных производных в любой точке означает, что предполагается гладкость поверхностей , то есть единственность направления нормали в любой точке этих поверхностей. Точки, в которых частные производные не существуют, являются особыми точками поверхностей , и в этих точках направление нормали к поверхности не определено.

1
Оглавление
email@scask.ru