§ 26. Прогноз и фильтрация одномерных случайных процессов

1. Метод А. Н. Колмогорова и Н. Винера. Стационарные случайные процессы.

Рассмотрим одномерную линейную управляемую систему, на вход которой поступает сигнал

(25.1)

где - полезный сигнал, а - помеха. Будем считать, что и - стационарные случайные процессы с нулевыми средними значениями. Назначением системы является возможно более точное преобразование (в частном случае — воспроизведение) полезного сигнала .

Передаточную функцию системы обозначим через , а ее функцию веса через .

Согласно (25.7) сигнал на выходе системы (в предположении, что начальный момент времени будет иметь следующий вид:

(26.2)

Пусть система предназначена для прогноза полезного входного сигнала. Для осуществления прогноза потребуем, чтобы сигнал на выходе системы в момент времени t представлял собой наилучшее (в смысле минимума дисперсии ошибки) приближение к , где . При имеем задачу прогноза. При рассматриваемая задача является задачей фильтрации входного сигнала [20, 40].

Ошибка приближения сигнала на выходе системы к будет

(26.3)

или в соответствии с (2)

(26.4)

Дисперсия ошибки приближения будет

(26.5)

Будем искать теперь функцию веса , которая доставляет минимум функционалу . Указанную функцию веса будем считать оптимальной функцией веса, а соответствующую ей систему оптимальной линейной системой.

Согласно (5)

или

(26.6)

Так как случайные процессы и являются стационарными случайными процессами с нулевыми средними значениями, то выражение (6) принимает вид

(26.7)

Корреляционные функции и предполагаются известными.

Найдем теперь необходимое условие, которому должна удовлетворять функция для того, чтобы она доставляла минимум функционалу

Для этого заменим функцией , где — некоторый произвольный параметр, не зависящий от t, а - произвольная функция, которая аналогично функции , удовлетворяет требованию

Значение, принимаемое функционалом при замене функцией обозначим через . В соответствии с (7) будем иметь

(26.9)

Последнее слагаемое в выражении (9) можно переписать так:

(26.10)

Второе и третье слагаемые в выражении (10) совпадают в силу четности функции .

Через обозначим множитель при в последнем слагаемом в выражении (10)

(26.11)

Аналогично последнему слагаемому в выражении (7), можно представить (11) в таком виде:

(26.12)

Очевидно, что

(26.13)

Таким образом, выражение (9) можно привести к следующему виду:

(26.14)

где

(26.15)

Учитывая, что

(26.16)

можно выражение (15) переписать так:

(26.17)

Необходимое условие минимума функционала (7) имеет вид

(26.18)

В соответствии с (14) условие (18) принимает вид

(26.19)

Нетрудно видеть, что условие (19) является не только необходимым, но и достаточным условием минимума функционала 1. Для этого надо показать, что при любом выборе функции будет иметь место неравенство

Из выражения (14) следует, что

так как согласно (12) .

Таким образом, доказано, что условие (19) является необходимым и достаточным условием минимума дисперсии .

Так как условие (19) должно выполняться при любых функциях то в соответствии с (17) условие минимума дисперсии принимает вид

(26.20)

Таким образом, функция веса , удовлетворяющая интегральному уравнению (20), обеспечивает минимально возможное значение дисперсии ошибки .

Интегральное уравнение (20) получено H. Винером [20]. Чтобы согласовать с обозначениями Винера, заменим в (20) переменную интеграцию на . Аргумент корреляционных функций и , который в (20) обозначен через , заменим на .

Уравнение (20) примет тогда вид

(26.21)

В задаче фильтрации, то есть при

(26.22)

оптимальная функция веса должна в соответствии с (21) удовлетворять интегральному уравнению