Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Одномерные управляемые системы
1. Системы с одной степенью свободы.
Уравнение движения системы с одной степенью свободы, у которой кинетическая энергия
, потенциальная энергия
, а добавочная неконсервативная сила
, будет иметь следующий вид:
(1.1.)
Обозначая через D оператор дифференцирования по времени
(1.2)
можно переписать уравнение (1) так:
(1.3)
или
(1.4)
Функция
(1.5)
является дробно-рациональной функцией от оператора дифференцирования D и называется передаточной функцией системы. Подставляя в (4) выражение (5),
получим
(1.6)
Рис. 1.1.
Соотношение (6) эквивалентно исходному дифференциальному уравнению (1). Этому соотношению можно поставить в соответствие структурную схему, показанную на рис. 1.1. Функцию можно назвать входным сигналом, а функцию сигналом на выходе системы.
Найдем решение дифференциального уравнения (1). В случае, когда
(1.7)
корни характеристического уравнения
(1.8)
будут
(1.9)
где
(1.10)
При условии (7) решение уравнения (1) имеет следующий вид:
(1.11)
В случае нулевых начальных условий, то есть при
(1.12)
закон движения рассматриваемой системы будет
(1.13)
Обозначим через следующую функцию:
(1.14)
Эта функция называется функцией веса системы (1). Из выражения (11) видно, что есть закон движения системы в случае, когда
а начальные условия таковы:
(1.15)
Из выражения (11) можно заключить, что будет законом движения системы также и в случае, когда
(1.16.)
где — единичная импульсная функция (дельта-функция Дирака). Поэтому функция называется также импульсной переходной функцией системы.
Из соотношений (16) следует, что до момента времени то есть до приложения единичного импульса, система находилась в покое. В силу этого мы должны принять, что при , то есть функция веса равна нулю при отрицательном значении ее аргумента.
Таким образом, выражение (14), которым определена функция веса , необходимо дополнить соотношением
(1.17)
В соответствии с (14) можно выражение (13) записать так:
(1.18)
и
Выражение (18) можно преобразовать, полагая
(1.19)
Тогда, учитывая, что t является здесь параметром, будем иметь . Так как при и при , то получим
Таким образом, закон движения системы, у которой
будет следующим:
(1.21)
Рассмотрим теперь предельный случай. Пусть
то есть входной сигнал подан бесконечно давно. Если , то есть собственные колебания системы (1) асимптотически затухают, то выражение (11) принимает вид
что для краткости будем записывать так:
(1.22)
Выражение (22) определяет собой установившийся процесс в системе.
Пример. В качестве примера найдем установившийся процесс в системе, описываемой дифференциальным уравнением (1),
для случая, когда
Согласно (22) и (14)
или
Так как согласно (10) , то полученное выражение принимает вид