4. Функции от матрицы.

Пусть дана квадратная матрица и функция скалярного аргумента . Требуется определить, что следует понимать под , то есть требуется распространить функцию и на матричные значения аргумента.

Выше (29) через был обозначен минимальный полином матрицы А:

Пусть два полинома и таковы, что

(10.32)

Из соотношения (32) следует, что разность этих полиномов

(10.33)

является аннулирующим полиномом для матрицы А и, следовательно, делится на минимальный полином без остатка, то есть

где - полином от . Таким образом,

(10.35)

Соотношение (35) записывают так:

(10.36)

и говорят, что сравнимо с по модулю .

Из соотношения (34) следует, что

(10.37)

и поэтому в соответствии с (29) будем иметь

(10.38)

или согласно (33)

(10.39)

Здесь — нули минимального полинома . Пусть теперь дана некоторая функция . Числа

будем называть значениями функции спектре матрицы А. Совокупность этих значений будем символически обозначать через .

Если для функции существуют, то есть имеют смысл, значения (40), то говорят, что функция определена на спектре матрицы А.

Из формул (39) следует, что полиномы и имеют одни и те же значения на спектре матрицы A, то есть

(10.41)

Для полиномов и имеет место и обратная теорема. Если даны соотношения (39), то из этого вытекает соотношение (36), а из соотношения (36) следует, что .

Таким образом, значения полинома на спектре матрицы А вполне определяют матрицу , то есть все полиномы , принимающие одни и те же значения на спектре матрицы А, имеют одно и то же матричное значение .

Определение функции в общем случае подчиняется тому же требованию: значения функции на спектре матрицы А должны полностью определять , то есть все функции имеющие одни и те же значения на спектре матрицы А, должны иметь одно и то же матричное значение .

Из этого следует, что для определения в общем случае достаточно подыскать такой полином , который принимал бы те же значения на спектре матрицы , что и функция и положить .

Таким образом, приходим к следующему определению.

Определение 1. Если функция определена на спектре матрицы , то

(10.42)

где - любой полином, принимающий на спектре матрицы А те же значения, что и :

(10.43)

Как известно [17, 21], среди всех полиномов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на спектре матрицы A, что и функция , имеется один и только один полином , степень которого меньше или равна . Этот полином называется интерполяционным полиномом Лагранжа — Сильвестра для функции на спектре матрицы . Он однозначно определяется интерполяционными условиями

(10.44)

Определению 1 можно теперь дать следующую формулировку.

Определение . Пусть — функция, которая определена на спектре матрицы A, а - интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра, определяемый интерполяционными условиями (44). Тогда