Глава 5. ПРИНЦИП МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИНА В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 17. Теорема о необходимом условии оптимальности

1. Принцип максимума Л. С. Понтрягина.

Управляемая система описывается дифференциальными уравнениями

Требуется перевести систему из точки -мерного фазового пространства в заданную точку . Момент времени , в который изображающая точка попадет в точку , заранее не фиксируется.

Управление - непрерывная вектор-функция, значения которой принадлежат некоторому замкнутому ограниченному множеству -мерного пространства

Функции определены для любых значений и . Они предполагаются непрерывными по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемыми по . Управление и надо выбрать так, чтобы функционал

принимал наименьшее возможное значение.

Обозначим через функцию, определяемую дифференциальным уравнением

и начальным условием

При этом подлежащий минимизации функционал Q можно представить так:

Пусть помимо основной системы уравнений (1) и уравнения (4), которые можно записать совместно так:

(17.7)

мы имеем еще одну систему уравнений относительно вспомогательных (дополнительно рассматриваемых) переменных :

Если мы выбрали некоторое допустимое управление , переводящее систему (1) из точки в точку и имеем соответствующую фазовую траекторию системы (7) с начальным условием , то система уравнений (8) принимает вид

(17.9)

Это — система однородных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. При любых начальных значениях для она допускает единственное решение

Всякое решение системы уравнений (9) (при любых начальных условиях) будем называть решением системы (8), соответствующим выбранному управлению и фазовой траектории .

Обозначая

(17.10)

будем иметь

(17.11)

(17.12)

и системы уравнений (7) и (8) можно переписать так:

Поставленная выше задача решается при помощи принципа максимума Л. С. Понтрягина, установленного и доказанного [72] в виде сформулированной ниже теоремы.

Предварительно сделаем следующие замечания. Взяв произвольное допустимое управление (то есть управление, которое переводит систему из точки в точку и удовлетворяет ограничениям и начальное условие , можно найти соответствующую (то есть удовлетворяющую системе (13)) траекторию . После этого можно найти соответствующие функциям и решения системы (14)

При фиксированных (постоянных) значениях и функция переменных

становится функцией параметра и ; точную верхнюю грань значений этой функции обозначим через :

(17.15)

Если точная верхняя грань значений непрерывной функции достигается в некоторой точке области управления , то есть максимум значений функции при фиксированных и . Поэтому приведенная ниже теорема (необходимое условие оптимальности), главным содержанием которой является равенство (16), названа ее автором принципом максимума.

Теорема 1 (принцип максимума Л. С. Понтрягина [72]). Пусть — такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория , исходящая в момент из точки проходит в момент через точку . Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции соответствующей функциям и , что

Для любого момента , являющегося точкой непрерывности управления , функция переменного достигает в точке максимума

(17.16)

. В конечный момент выполнены соотношения

(17.17)

Оказывается, далее, что если величины удовлетворяют системе (13), (14) и условию , то функции и переменного t являются постоянными, так что проверку соотношений (17) можно проводить не обязательно в момент , а в любой момент .