4. Оптимальные фильтры Калмана — Бьюси.

Рассмотрим систему, описываемую скалярным дифференциальным уравнением

(26.63)

Вследствие наличия помех в измерительных устройствах состояние системы определяется с ошибкой, так что результаты наблюдения имеют вид

(26.64)

Будем предполагать, что и представляют собой нестационарные случайные процессы типа белого шума с нулевыми средними значениями. Корреляционные функции этих случайных процессов имеют следующий вид:

(26.65)

где и — непрерывные дифференцируемые функции, причем - неотрицательная функция, а положительна для всех значений t. Через обозначена дельта-функция Дирака.

Для определения оценки состояния системы (63) Калман и Бьюси [37] предложили применить фильтр, представляющий собой систему, описываемую линейным неоднородным дифференциальным уравнением

(26.66)

При этом функции и в дифференциальном уравнении (66) должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялось условие

(26.67)

Через обозначим функцию веса системы, описываемой однородным дифференциальным уравнением

(26.68)

Тогда решение дифференциального уравнения (66) будет иметь следующий вид:

Обозначим теперь

(26.70)

Из (70) следует, что , а так как

то

(26.71)

В соответствии с (70) и (71) при сигнал на выходе системы (66) будет иметь следующий вид:

(26.72)

Выражению (72) соответствует выражение (43) в задаче Винера. Желаемым сигналом теперь является функция . Поэтому интегральное уравнение Винера (58) здесь принимает вид

(26.73)

Функция , удовлетворяющая интегральному уравнению (73), как следует из решения задачи Винера, будет доставлять минимум функционалу (67).

Дифференцируя по t левую и правую части уравнения получим

(26.74)

Так как случайные процессы и некоррелированы, а и некоррелированы для всех значений , то выражение

(26.75)

можно переписать так:

(26.76)

Заметим, что так как , то из (76) вытекает соотношение

(26.77)

Обратимся теперь к правой части соотношения (74). В соответствии с (63) будем иметь

(26.78)

Как видно из уравнений (63) и (64), случайный процесс для всех значений не коррелирован с более поздним входным сигналом , то есть

(26.79)

и выражение (78) принимает вид

(26.80)

Таким образом, в соответствии с (76), (77), (80) уравнение (74) принимает вид

(26.81)

Подставляя вместо выражение (73), приведем уравнение (81) к виду

(26.82)

или

(26.83)

Обозначим теперь

(26.84)

Тогда уравнение (83) можно переписать так:

(26.85)

Складывая левые и правые части уравнений (73) и (85), получим

Таким образом, как функция , так и функция являются решениями интегрального уравнения (73) и доставляют минимум функционалу (67).

Нетрудно показать, что поскольку входящая в выражение (65) функция предполагается положительной при всех значениях то разность двух решений интегрального уравнения (73) равна нулю:

Для доказательства обратимся к соотношению (61). В рассматриваемой здесь задаче это соотношение принимает вид

(26.87)

или

(26.88)

Функция и функция являются решениями интегрального уравнения (73). Функции соответствует, согласно (72), оптимальная оценка

(26.89)

Функции соответствует оптимальная оценка

(26.90)

Обозначая

(26.91)

будем иметь

(26.92)

Из условия (87) вытекают соотношения

откуда следует, что

(26.93)

Обратимся теперь к соотношениям (89) и (90), из которых найдем

Так как согласно (93) правые части этих соотношений равны нулю, то получим

Отсюда следует, что

(26.94)

Подставляя в (94) значение (92) функции , получим

(26.95)

Так как

то выражение (95) принимает вид

или

(26.96)

где

Так как , то из соотношения (96) следует, что

(26.97)

Из соотношений (97) и (84) получим

(26.98)

Дифференцируя по t левую и правую части выражения (72), будем иметь

(26.99)

Из (99) и (98) найдем, что

(26.100)

или

(26.101)

В соответствии с (72) и (71) уравнение (101) принимает вид

(26.102)

Из уравнений (102) и (66) следует, что входящая в уравнение (66) функция имеет вид

(26.103)

Таким образом, оптимальный фильтр, уравнение (102) которого можно представить в виде

(26.104)

является системой с обратной связью, в которую рассогласование входит с коэффициентом усиления .

Остается еще определить вид функции . Подставляя в уравнение (102) выражение (64) для , получим следующее уравнение:

(26.105)

Обозначим через ошибку оценки состояния системы:

(26.106)

Из уравнений (63) и (105) найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет :

(26.107)

Согласно (68), (69) и (103), функция веса однородного дифференциального уравнения

будет . Решение уравнения (107) будет иметь следующий вид:

Найдем теперь дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет дисперсия ошибки

(26.109)

Так как

то в соответствии с (107) будем иметь

(26.110)

Заменяя левую и правую части уравнения (110) их математическими ожиданиями, получим следующее дифференциальное уравнение относительно :

(26.111)

Чтобы найти , обратимся к выражению (108). Умножая левую и правую части этого выражения на и переходя к математическим ожиданиям, получим

(26.112)

Согласно (65) . Так как начальная ошибка не коррелирована с то . Таким образом, выражение (112) принимает вид

или, в соответствии с (65),

(26.113)

Аналогичным образом получим, что

(26.114)

Дифференциальное уравнение (111), в соответствии с (113) и (114), принимает теперь следующий вид:

(26.115)

Ниже нам потребуются формулы (61) и (62) предыдущего раздела. Здесь они принимают следующий вид:

(26.116)

(26.117)

Учитывая формулы (106) и (64), можно представить соотношение (116) в виде

(26.118)

В соответствии с (63) и (64)

(26.119)

Подставляя вместо выражение (72), получим

или, в соответствии с (119),

Отсюда, учитывая, что , получим

или

(26.120)

Левая и правая части соотношения (120) являются непрерывными функциями от а при любом фиксированном t. Поэтому, переходя в (120) к пределу при и учитывая, что , получим

(26.121)

Так как согласно (76)

то выражение (121) можно переписать так:

или, в соответствии с (72),

Последнее выражение можно переписать так:

(26.122)

Так как согласно (117) , то из (122) и (109) получаем

(26.123)

Из (123) следует, что

(26.124)

Из (115) и (124) найдем окончательный вид дифференциального уравнения, которому удовлетворяет функция :

(26.125)

Дифференциальное уравнение (125) представляет собой уравнение Риккати. Для решения уравнения (125) надо задать начальное значение . Будем предполагать, что

(26.126)

Так как согласно (106) , то в соответствии с (109) и (126) начальное значение принимает вид

то есть

(26.127)