§ 7. Нелинейные системы под воздействием внешних сил

1. Приведение задачи к интегральным уравнениям.

Рассмотрим систему, описываемую следующими нелинейными дифференциальными уравнениями:

Вводя матрицы

можно заменить систему скалярных дифференциальных уравнений (1) векторным дифференциальным уравнением

Предположим, что функции можно представить в таком виде:

то есть в виде суммы некоторой линейной относительно аппроксимирующей функции

и нелинейной поправки . Выбор линейного приближения может быть выполнен различными способами; его можно подчинить, например, условию малости в рассматриваемой области изменения и т. д. От удачного выбора линейного приближения в значительной мере зависит быстрота сходимости построенных ниже последовательных приближений (35) решения системы уравнений (1).

Система дифференциальных уравнений (1) принимает в соответствии с (4) следующий вид:

Система скалярных дифференциальных уравнений (5) эквивалентна векторному дифференциальному уравнению

где через и обозначены матрицы

Обозначим теперь через матрицу

столбцы которой представляют собой линейно-независимые частные решения однородного векторного уравнения

Матрица , таким образом, является фундаментальной матрицей решений дифференциального уравнения (9). Так как каждый столбец матрицы является частным решением уравнения (9), то матрица удовлетворяет уравнению

Решение векторного дифференциального уравнения (6) будем искать в следующем виде:

где

Вектор подлежит определению. Подставляя выражение (11) в уравнение (6), получим

Первое и третье слагаемое в левой части уравнения (13) в соответствии с (10) сокращаются, и уравнение (13) принимает вид

откуда

где через обозначена обратная матрица. Из уравнения (15) следует, что

где С — вектор из произвольных постоянных

Подставляя в (11) выражение (16) для вектора получим

Вектор С определим из начальных условий

Из соотношения (18) следует, что

откуда

Таким образом, соотношение (18) принимает вид

Соотношение (22), в правой части которого подынтегральная функция содержит элементы матрицы , представляет собой векторное нелинейное интегральное уравнение относительно неизвестного . Это интегральное уравнение эквивалентно векторному дифференциальному уравнению (3) вместе с начальными условиями (19).

Обозначим теперь

Функция представляет собой квадратную матрицу

элементы которой будут

Заметим, что для функции будет справедливым следующее соотношение:

которое имеет место для любых . Действительно, в соответствии с (23)

что и совпадает с соотношением (24).

Обратная матрица для матрицы будет

Соотношение (25) вытекает из того, что

где через Е обозначена единичная матрица.

Из соотношения (23) также следует, что

для любых значений .

Нелинейное векторное интегральное уравнение (22) можно теперь переписать так:

Уравнение (26) эквивалентно следующей системе скалярных нелинейных интегральных уравнений: