2. Критерий асимптотической устойчивости замкнутых управляемых систем, содержащих лишь устойчивые звенья (критерий Найквиста).

Сначала рассмотрим управляемые системы, звенья которых устойчивы. Это означает, что характеристические определители звеньев не имеют нулей в правой полуплоскости комплексного переменного .

Мы ограничимся рассмотрением систем, для которых у функции

степень числителя не выше степени знаменателя. Так как согласно (8)

то очевидно, что нулями функции являются нули функции

(3.13)

Нулями функции являются нули ее числителя, а полюсами — нули ее знаменателя. Если все звенья управляемой системы асимптотически устойчивы, то функция не имеет нулей в правой полуплоскости комплексного переменного . Поэтому указанный ниже интеграл по замкнутому контуру С, расположенному в правой полуплоскости , будет иметь следующее значение:

(3.14)

где N — число нулей, а Р — число полюсов, которые имеет функция в области, ограниченной контуром С.

Заметим, что обычно при формулировке теоремы Коши в теории функций комплексного переменного обход по замкнутому наружному контуру производится против направления движения стрелки часов, то есть так, чтобы область, охватываемая контуром, оставалась слева. Здесь принят обход по направлению движения стрелки часов, и поэтому в правой части выражения (14) мы имеем .

Если при помощи конформного отображения

отобразить контур С на плоскость , то выражение (14) примет вид

(3.15)

где Г — контур на плоскости К, полученный в результате отображения. Направление обхода по этому контуру дается отображением и не может быть выбрано произвольно.

Так как коэффициенты полиномов и действительны, то действительным точкам соответствуют действительные точки на плоскости К. Точке и бесконечно удаленной точке соответствуют также действительные точки и . Точкам и соответствуют симметричные точки и . Поэтому, если контур С симметричен относительно действительной оси, то и контур Г на плоскости К будет симметрично расположен относительно действительной оси. Величина есть некоторая комплексная величина. На плоскости К она представляет собой радиус-вектор точки, лежащей на контуре Г. Начало этого радиус-вектора расположено в точке .

Так как

(3.16)

(3.17)

(3.18)

то

(3.19)

где - приращение аргумента радиус-вектора при обходе по замкнутому контуру Г. Интеграл от первого слагаемого в выражении (18)

(3.20)

так как контур Г — замкнутый.

Таким образом, N равно числу 5 полных оборотов вектора вокруг точки , когда описывает контур С по стрелке часов, причем обороты вектора считаются положительными также по стрелке часов

(3.21)

Заметим, что если считать обороты вектора положительными, когда они совершаются против стрелки часов, то число оборотов вектора будет согласно (15) равно .

Для решения вопроса об асимптотической устойчивости замкнутой управляемой системы необходимо выбрать в плоскости контур, который охватывал бы всю правую полуплоскость.

Пусть контур в плоскости составлен из полуокружности L радиуса R с центром в начале координат и из ее диаметра , расположенного на мнимой оси (рис. 3.1). Направление обхода — по стрелке часов.

Когда изменяется вдоль мнимой оси от 0 до , точка пробегает путь Г от точки до точки , расположенной на действительной оси. Вместе с зеркальным отображением Г этого пути относительно действительной оси получаем замкнутый контур , изображенный сплошной линией.

Полуокружности L от через до соответствует дуга от через на действительной оси до . Эта дуга представляет собой ответвление контура .

При контур в плоскости , в пределе, охватывает всю правую полуплоскость. Нетрудно видеть, что при ответвление стягивается в точку . Действительно, при будем иметь

(3.22)

(3.23)

В случае, когда степень полинома ниже степени то есть при , имеем . Таким образом, при на плоскости К остается только замкнутый контур .

Рис. 3.1.

Число S оборотов контура вокруг точки по стрелке часов равно числу нулей N характеристического определителя в правой полуплоскости . Если число оборотов равно нулю, то замкнутая управляемая система асимптотически устойчива.

Рис. 3.2.

Если, в частности, контур не имеет самопересечений, то асимптотическая устойчивость имеет место лишь в том случае, когда точка лежит вне контура. В этом и состоит критерий Найквиста [17].

Заметим, что возможны случаи, когда контур охватывает точку , но благодаря наличию самопересечений (рис. 3.2) число оборотов контура вокруг точки равно нулю. В этих случаях система устойчива.

Отметим еще взаимное расположение на плоскости К точек и . Легко видеть, что числа и всегда имеют одинаковые знаки, так как иначе полином имел бы, по меньшей мере, один положительный действительный корень, что противоречит предположению об устойчивости разомкнутой системы.

Рис. 3.3.

Если замкнутая управляемая система устойчива, то и числа , должны иметь одинаковые знаки, откуда следует, что у действительных чисел знаки должны быть одинаковыми. Таким образом, у устойчивой системы точки и должны лежать по одну сторону от точки . У неустойчивой системы точки и могут лежать как по одну сторону, так и по разные стороны от точки .