3. Наблюдаемость систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим систему, описываемую векторными уравнениями

(11.34)

(11.37)

Здесь -мерный вектор, -мерный вектор, и - -мерный вектор. Через A, G, С и L обозначены матрицы типа , , , соответственно.

Вектор является вектором состояния системы (его компоненты — фазовые координаты системы), — вектор, компоненты которого являются управляющими силами (управлениями).

Через обозначен вектор

элементы которого являются линейными комбинациями фазовых координат и управлений .

Далее предполагается, что элементы вектора доступны наблюдению на отрезке времени , и, таким образом, по данным измерений известны функции на отрезке времени . При этом предполагается также известным закон изменения управляющих сил на рассматриваемом отрезке времени .

Так как согласно (7)

то в соответствии с (37)

(11.38)

Так как функция предполагается известной, то второе и третье слагаемые в правой части (38) могут быть вычислены, и эти слагаемые можно вычесть из полученной в результате наблюдений функции

Левая часть соотношейия (39), таким образом, является известной. Начальное состояние системы предполагается неизвестным. Возникает вопрос, можно ли восстановить значение по полученным из описанных наблюдений данным.

Поставленная здесь задача эквивалентна следующей задаче. У системы, описываемой векторными уравнениями (отличающимися от уравнений (36) и (37) тем, что :

(11.40)

(11.41)

требуется восстановить начальное значение по найденной из наблюдений вектор-функции .

Возможность восстановления начального состояния системы по некоторой наблюдаемой линейной операции над ее выходом называется наблюдаемостью.

Системы, обладающие этим свойством, называются вполне наблюдаемыми.

Из уравнений (40) и (41) следует, что

(11.42)

Матрица С, которая входит в уравнение (41), имеет следующий вид:

(11.43)

Обозначив через строки матрицы (43)

(11.44)

можно представить матриду (43) в коагулированном виде

(11.45)

Элемент вектора в соответствии с (42) можно записать так:

(11.46)

Согласно (10.58)

(11.47)

где m — степень минимального полинома матрицы A, а - коэффициенты интерполяционного полинома Лагранжа— Сильвестра , построенного для функции которая определена на спектре матрицы А. Поэтому выражение (46) можно привести к виду

(11.48)

Умножая левую и правую части соотношения (48) на и интегрируя полученные функции по t в пределах от 0 до Т, получим

(11.49)

Введем теперь следующее обозначение:

(11.50)

Для каждого фиксированного в соответствии с (49) будем иметь следующую систему уравнений:

(11.51)

Определитель из коэффициентов при в уравнениях (51) отличен от нуля

(11.52)

так как это есть определитель Грама [23], стр. 79, для системы линейно-независимых функций .

Таким образом, система уравнений (52) имеет единственное решение

(11.53)

Так как , то будем иметь соотношений вида (53),

где

(11.54)

Введем теперь следующее обозначение для скалярного произведения двух векторов и :

(11.55)

Через обозначим транспонированную матрицу для матрицы М. Так как при транспонировании произведения двух матриц М и N имеет место соотношение

(11.56)

то соотношения (53) можно переписать так:

(11.57)

В соответствии с (44) будем иметь

(11.58)

Матрицы будут

(11.59)

Как видно из (59) и (57), столбцы матриц (число этих столбцов будет представляют собой векторы, которые входят в левые части соотношений (57).

Указанные векторы, таким образом, являются столбцами следующей коагулированной матрицы:

(11.60)

Заметим, что если вместо входящих в матрицу (60) блоков подставить соответствующие матрицы, то получим матрицу типа (где ) элементы которой являются скалярами.

Предположим теперь, что среди столбцов матрицы 5 имеется линейно-независимых столбцов , то есть ранг матрицы S равен .

Кроме того, предположим еще, что размерность вектора у выбрана так, что выполняется условие

Из уравнений (57) выберем те уравнения, в которые входят векторы . Эти уравнения будут

(11.62)

или

(11.63)

Мы получили систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно . Определитель из коэффициентов уравнений (63) отличен от нуля, так как векторы лцнейно-независимы, и, следовательно, система уравнений (63) имеет единственное решение, то есть определяет единственным образом компоненты вектора начального состояния системы .

Соотношениям (62) можно дать еще такую интерпретацию. Линейно-независимые векторы можно рассматривать как базис -мерного пространства . Величины представляют собой проекции вектора на базисные векторы. Эти проекции определяют единственным образом искомый вектор .

Таким образом, необходимое и достаточное условие наблюдаемости системы (36), (37) состоит в том, что ранг матрицы (60)

должен быть равен .