§ 11. Управляемость и наблюдаемость линейных систем

1. Управляемость систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением

где

Через здесь обозначены переменные, определяющие состояние системы: - приложенные к системе управляющие силы, называемые также «управлениями». Элементы матриц А и G предполагаются здесь постоянными.

Векторное дифференциальное уравнение (1) эквивалентно системе скалярных дифференциальных уравнений

Уравнения (3) являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, и их можно интерпретировать, например, как уравнения в вариациях относительно установившегося движения (или относительно состояния равновесия) некоторой системы материальных точек. Пусть число степеней свободы этой системы, а — ее обобщенные координаты. Ранг системы уравнений (3) при этом будет

Переменные в уравнениях (3) могут быть фазовыми координатами или каноническими переменными (обобщенными координатами и обобщенными импульсами) рассматриваемой системы материальных точек или быть связанными с ними при помощи некоторого линейного преобразования.

Так как у системы материальных точек число приложенных обобщенных сил не может превышать числа степеней свободы, то число г управляющих сил в дифференциальных уравнениях (3) должно удовлетворять условию

Заметим еще, что те из уравнений системы (3), которые выражают лишь зависимость между переменными папример уравнения вида

в случае, когда — фазовые координаты системы, требуют выполнения тождеств

для чего необходимо, чтобы соответствующие строки матрицы G состояли из нулевых элементов

Обычно управляемая система имеет, однако, более сложную структуру. В ее состав входят еще устройства для формирования управляющих сигналов и др. При этом в число уравнений (3) могут входить также дифференциальные уравнения, описывающие программы включенных в состав системы вычислительных управляющих устройств и т. п. Эти уравнения могут содержать и свои управляющие воздействия. В этом случае будет иметь место соотношение , где под s здесь подразумевается число степеней свободы лишь совокупности механических звеньев, входящих в систему (3), а также может оказаться, что .

Рассмотрим сейчас вопрос о том, можно ли систему, описываемую уравнением (1), перевести из любого заданного начального состояния в любое желаемое состояние за конечный промежуток времени, выбирая надлежащим образом закон изменения управляющих сил .

Сформулированное здесь свойство получило название управляемости. Системы, обладающие этим свойством, называются вполне управляемыми.

Так как управляемость системы определяется строением матриц А и G, то понятие управляемости относят также к этим матрицам, говоря, что пара вполне управляема, или соответственно неуправляема.

Перейдем к решению поставленной задачи. Согласно (10.143) закон движения системы, описываемой уравнением (1), будет следующим:

Предположим, что существует такой закон изменения управляющих сил , который обеспечивает приведение системы к моменту времени в начало координат, то есть обеспечивает выполнение условия

Так как согласно (7)

то в соответствии с (8) будем иметь следующее соотношение:

(11.10)

Умножая левую и правую части соотношения (10) на получим

(11.11)

Согласно (10.58)

(11.12)

где — степень минимального полинома матрицы А, а — коэффициенты интерполяционного полинома Лагранжа— Сильвестра , построенного для функции , которая определена на спектре матрицы А.

Соотношение (11) можно, учитывая выражение (12), переписать так:

(11.13)

или

(11.14)

Каждое из слагаемых в левой части соотношения (14) является вектором типа .

Левую часть соотношения (14) можно представить в виде произведения двух матриц и переписать соотношение (14) так:

(11.15)

Так как есть матрица типа , то матрица

(11.16)

является коагулированной (блочной) матрицей типа .

Сделаем сейчас следующее замечание. Согласно (10.29) минимальный полином матрицы А имеет вид

или

Так как является аннулирующим полиномом для матрицы А, то есть

то будем иметь

Отсюда следует, что

то есть матрица является линейной комбинацией матриц .

Так как и степени матриц коммутативны при умножении, то приходим к следующему результату.

Если степень минимального полинома матрицы А равна m, то матрица является линейной комбинацией матриц :

Обратимся теперь к матрице (16). Так как матрица , где матрица типа , может быть представлена в виде

то у расширенной матрицы

образующейся прибавлением к матрице элементов , ранг остается таким же, и у матрицы .

Подставляя в (16) вместо соответствующие матрицы, получим матрицу типа , где

(11.17)

элементы которой являются скалярами

(11.18)

Матрица

(11.19)

представляет собой матрицу-столбец (вектор) типа и является коагулированной матрицей, так как каждый ее элемент есть -мерный вектор, поскольку согласно (2)

Обозначая

можно представить матрицу (19) так:

то есть в виде -мерного вектора , элементы которого являются скалярами.

Векторное уравнение (15), таким образом, принимает вид

(11.22)

где W и U определены выражениями (18) и (21), Уравнение (22) эквивалентно следующей системе скалярных уравнений:

(11.23)

Далее будем считать, что число управлений выбрано так, что выполняется условие

(11.24)

Здесь, как указано выше, — степень минимального полинома матрицы А (причем , а r — размерность вектора управлений u.

Если обозначить через векторы-столбцы матрицы (18)

то систему скалярных уравнений (23) можно заменить следующим векторным уравнением:

(11.26)

где и -мерные векторы, а — скаляры, причем согласно (24) . Таким образом, вектор представляет собой линейную комбинацию векторов .

Так как в качестве может быть выбран любой вектор -мерного пространства то из соотношения (26) следует, что для того, чтобы система (1) была вполне управляемой, необходимо и достаточно, чтобы среди векторов имелось линейно-независимых векторов.

Иными словами, условие управляемости [36] системы (1) состоит в том, что ранг матрицы (16)

долокен быть равен .

Система значений удовлетворяющая уравнениям (23), в случае, когда будет не единственной. При выборе решения уравнений (23) необходимо еще учитывать зависимости, которые накладывают на формулы (20). (Так, например, как видно из (20), у и подынтегральные функции содержат один и тот же множитель и т. д.)

Определив значения надо из соотношений (20) найти закон управления . Последняя задача также допускает не единственное решение.

Указанные обстоятельства открывают возможность наложения дополнительных условий, обеспечивающих тот или иной характер движения системы — каких-либо условий оптимальности и т. п.

Покажем, что одним из возможных управлений например, управление

где

а символом обозначена транспонированная матрица.

Проверим, что приводит систему (1) к моменту времени Г в начало координат. Для этого подставим в левую часть соотношения (11)

Таким образом, соотношение (11) удовлетворяется, откуда в соответствии с (9) следует, что .

Здесь мы предполагали, что матрица существует. В п. 6 будет доказано, что если система управляема, то R является положительно-определенной матрицей, и, следовательно, обратная матрица существует.

Пример. Рассмотрим систему, описываемую скалярным дифференциальным уравнением

Здесь управление принимает вид

Левая часть соотношения (11) теперь будет

то есть соотношение (11) удовлетворяется, и согласно (9) будем иметь .