Рассмотрим функцию
(10.80)
где 
— некоторый параметр. Из выражения (80) найдем, что
(10.81)
Согласно (80) 
. Так как 
и 
, где 
— интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра, совпадают на спектре матрицы 
, то на этом спектре
(10.82)
При замене в выражении (82) скалярного аргумента 
матрицей А получим следующее матричное соотношение:
(10.83)
откуда следует, что
(10.84)
В силу соотношения (45) отсюда следует, что функции 
, заданной выражением (80), соответствует
(10.85)
Из выражений (70), (80) и (81) видно, что интерполяционный полином 
, определяемый значениями 
на спектре матрицы 
, будет следующим:
(10.86)
Отсюда, заменяя скалярный аргумент 
матрицей 
, получим
(10.87)
Согласно (85), (8) и (19)
(10.88)
Здесь 
- присоединенная матрица для матрицы 
, 
- определитель матрицы 
. Матрица 
называется приведенной присоединенной матрицей и определяется выражением (14), а 
- минимальный полином матрицы А, который определяется выражением (16).
Соотношение (87) можно теперь переписать так:
(10.89)
Так как согласно (29)
то выражение (89) представляет собой разложение дробно-рациональной функции на сумму элементарных дробей, причем коэффициентами этого разложения являются матрицы.
Сравнивая выражения (89) и (55), найдем, что матрицы 
будут иметь следующий вид:
(10.90)
определяются лишь видом матрицы 
и не зависят от выбора функции 
. Укажем теперь общие формулы, которыми определяются матрицы 
.
