5. Геометрическая формулировка теоремы В.М. Попова.

Заметим, что сформулированное в теореме В.М. Попова достаточное условие (36) абсолютной устойчивости нелинейной системы существенно отличается от требований критерия Найквиста для линейных систем. Последний накладывает ограничение на значение лишь в точках, где . В других точках значение может быть любым, так как ограничение значения в точках, где , уже предотвращает возможность охвата точки годографом вектора , что и обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой линейной системы. Сформулированное же в теореме . Попова достаточное условие (36) абсолютной устойчивости нелинейной системы требует ограничения значений для всех , а не только в точках, где .

Выше была введена видоизмененная частотная характеристика . Обозначим через X и Y соответственно действительную и мнимую части . Согласно (27) будем тогда иметь

(6.38)

В соответствии с (37)

(6.38)

Условие (36), таким образом, принимает вид

(6.39)

На плоскости XY (то есть на плоскости комплексного переменного уравнение

или эквивалентное ему уравнение

(6.40)

определяет собой прямую (рис. 6.7), проходящую через точку . Угловой коэффициент этой прямой равен . Прямую (40) можно назвать прямой Попова.

Нетрудно видеть, что условие (39) выполняется в любой точке плоскости комплексного переменного расположенной правее прямой Попова. Иными словами, условие (39) означает, что годограф вектора должен быть расположен правее прямой Попова.

Рис. 6.7.

Геометрическая формулировка теоремы В.М. Попова. Для того чтобы имела место абсолютная устойчивость системы (1) в угле достаточно, чтобы в плоскости комплексного переменного можно было выбрать прямую, проходящую через точку так, чтобы годограф вектора был весь расположен правее этой прямой.